关于Spec与Proj的异同及射影概形态射相关问题的咨询

嗨，很高兴看到你在代数几何学习中深入思考这些核心问题——Spec和Proj的联系与区别确实是入门阶段的关键坎儿，我来帮你梳理清楚：

一、齐次理想对应的闭子概形：$V(I) \cong \operatorname{Proj} k[x_0,\dots,x_n]/(I)$ 是否成立？ #

你的直觉完全正确！这个同构是成立的，不过可以补充一点细节让它更严谨：

• 对于域$k$上的多项式分次环$S = k[x_0,\dots,x_n]$，任给齐次理想$I \subset S$，由$I$定义的射影闭子集$V(I)$（作为闭子概形看待）确实与$\operatorname{Proj} S/I$同构。这是射影概形理论的基本对应，和仿射情形的$V(I) \cong \operatorname{Spec} k[x_1,\dots,x_n]/(I)$是平行的，但核心前提是$I$必须是齐次理想——毕竟射影空间的局部坐标是齐次的，只有齐次理想才能定义“齐次”的闭子集，进而成为闭子概形。
• 你提到的“对应原理”在分次环中是存在的：$\operatorname{Proj} S$的闭子概形与$S$中饱和的齐次理想一一对应（饱和理想的定义是：若某个齐次元素的足够高次幂属于$I$，则该元素本身也属于$I$）。不过对于初学者来说，先记住“齐次理想对应闭子概形，且$V(I) \cong \operatorname{Proj} S/I$”就足够，饱和性的细节可以后续再深入理解。

二、分次环同态与Proj之间的态射：是不是一一对应？ #

你观察得非常到位——这个对应不是双向的，也就是说不存在一一对应关系，你举的圆锥曲线例子正好戳中了关键：

• 首先，正向结论是成立的：如果有一个保持次数的分次环同态$\phi: S \to R$，它确实会诱导一个概形态射$\operatorname{Proj} R \to \operatorname{Proj} S$。这个诱导过程通过局部化实现：对于$S$中的齐次元素$f$，$\phi(f)$是$R$中的齐次元素，我们可以把$\phi$局部化为次数0的环同态$S_{(f)} \to R_{(\phi(f))}$，进而诱导仿射概形的态射$\operatorname{Spec} R_{(\phi(f))} \to \operatorname{Spec} S_{(f)}$，这些局部态射拼接起来就是全局的态射。
• 但反过来，不是每个$\operatorname{Proj} R \to \operatorname{Proj} S$的态射都能由一个分次环同态$S \to R$诱导，甚至同构的Proj概形对应的分次环可能根本不同构。你举的例子就是最好的证明：$\operatorname{Proj} k[s,t] = \mathbb{P}^1_k$，而$\operatorname{Proj} k[x,y,z]/(xy-z^{2)$是$\mathbb{P}}2_k$里的不可约圆锥曲线，这两个概形是同构的，但分次环$k[s,t]$和$k[x,y,z]/(xy-z^2)$并不同构（比如前者是唯一分解整环，后者不是——因为$xy = z^2$，但$x,y$都不是平方元）。
• 核心原因在于$\operatorname{Proj}$只“关心”分次环的高次部分，而非整个分次环的结构：比如，把分次环$R$截断，只保留次数≥d的部分（记为$R_{\geq d}$），那么$\operatorname{Proj} R \cong \operatorname{Proj} R_{\geq d}$；再比如，给$R$添加一个新的次数1的变量$t$得到$R[t]$，$\operatorname{Proj} R[t]$其实是$\operatorname{Proj} R \times \mathbb{P}^1_k$。而仿射的$\operatorname{Spec} R$则完全由环$R$决定，因为$\operatorname{Spec} R$的结构层全局截面就是$R$本身，所以态射和环同态是严格一一对应的。

为什么这两个结论不矛盾？ #

你担心的“矛盾”其实不存在，因为这是两个不同层面的结论：

• 第一个结论是关于闭子概形的表示：我们用分次环的商来表示射影空间里的闭子概形，这和仿射情形的逻辑一致——都是用环的商对应闭子概形。
• 第二个结论是关于概形态射的对应：Proj之间的态射不对应分次环同态，是因为Proj的构造舍弃了分次环的低次信息，而仿射Spec的态射依赖于整个环的结构。这是射影概形和仿射概形的本质区别之一。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者doobdood