独立泊松随机变量和的条件概率计算问题

嘿，我来帮你拆解这个问题～你已经找对了条件概率的基本框架——用联合概率除以边缘概率，这一步完全没问题！接下来咱们重点解决你困惑的分母部分，一步步来：

首先，你需要记住泊松分布一个非常关键的性质：n个独立的泊松随机变量，它们的和仍然服从泊松分布。具体来说，如果每个$X_i$都服从参数为$\lambda$的泊松分布（即$X_i \sim \text{Poisson}(\lambda)$），那么它们的和$S = X_1 + X_2 + \dots + X_n$服从参数为$n\lambda$的泊松分布，也就是$S \sim \text{Poisson}(n\lambda)$。这个性质是解决分母的核心。

第一步：计算分母（和的概率） #

设$k = x_1 + x_2 + \dots + x_n$，那么分母就是$P(S = k)$，直接用泊松分布的概率公式就能写出来：
$$P(S=k) = \frac{e^{-n\lambda} \cdot (n\lambda)^k}{k!}$$

第二步：计算分子（联合概率） #

因为$X_i$是独立的，所以联合概率就是每个$X_i$取$x_i$的概率的乘积：
$$P(X_1=x_1,\dots,X_n=x_n) = \prod_{i=1}^n \frac{e^{-\lambda} \cdot \lambda^{x_i}}{x_i!}$$
把这个乘积展开整理一下：

• 指数部分：$n$个$e^{{-\lambda}$相乘，结果是$e}{-n\lambda}$
• $\lambda$的幂次：$\lambda^{x_1} \cdot \lambda^{x_2} \dots \lambda^{x_n} = \lambda^{x_1+x_2+\dots+x_n} = \lambda^k$
• 分母部分：各个$x_i!$的乘积，即$\prod_{i=1}^n x_i!$

所以分子可以简化为：
$$P(X_1=x_1,\dots,X_n=x_n) = \frac{e^{-n\lambda} \cdot \lambda^{k}{\prod_{i=1}}n x_i!}$$

第三步：代入条件概率公式化简 #

把分子分母代入你写的条件概率公式，你会发现$e^{{-n\lambda}$和$\lambda}k$都会直接约掉，剩下的结果是：
$$
\begin{align*}
P(X_1=x_1,\dots,X_n=x_n \mid S=k) &= \frac{\frac{e^{-n\lambda} \cdot \lambda^{k}{\prod_{i=1}}n x_i!}}{\frac{e^{-n\lambda} \cdot (n\lambda)^k}{k!}} \
&= \frac{k!}{n^k \cdot \prod_{i=1}^n x_i!}
\end{align*}
$$

这个结果其实对应多项分布的概率质量函数——也就是说，在给定所有$X_i$的和为$k$的条件下，$(X_1,X_2,\dots,X_n)$服从参数为$k$、每个类别概率均为$\frac{1}{n}$的多项分布。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者xyz