关于“若kd∣d则k≤1”的证明及丢番图方程中r与s互质性的推导疑问

嗨，我来帮你把这个逻辑掰碎了理清楚，你卡的这个点其实是数论里最大公约数（gcd）核心性质的经典应用，咱们一步步拆解，保证给你讲得明明白白：

首先先明确前提：咱们说的d是a和b的最大公约数，也就是d = gcd(a,b)，所以必然能把a、b写成a = d*r、b = d*s的形式（r、s都是整数）。现在要证明的是r和s互质，也就是gcd(r,s)=1。

你疑惑的点是：如果有整数k同时整除r和s，为什么k的绝对值必须≤1？咱们从“kd∣d”这个式子出发，严谨推导一遍：

• 假设存在整数k，使得k能同时整除r和s，那根据整除的定义，一定存在整数r'、s'，让r = k*r'，s = k*s'。
• 把r、s代入a、b的表达式里，就能得到a = d*k*r'，b = d*k*s'——这说明d*k是a和b的一个公约数。
• 但咱们一开始就说了，d是a和b的最大公约数，根据gcd的定义：所有公约数的绝对值都不能超过d的绝对值（因为d是最大的那个）。所以必然有|d*k| ≤ |d|。
• 因为d是gcd，所以d是正整数（数论里通常默认gcd取正值），所以两边可以安全地除以d，得到|k| ≤ 1。
• 又因为k是整数，所以k只能是1或者-1。这就意味着，能同时整除r和s的整数只有±1，所以r和s的最大公约数就是1——也就是它们互质。

你之前的思路方向是对的，但在处理d = kd*g这一步时有点偏差：其实两边直接除以d（d≠0，因为gcd至少是1），就能得到1 = k*g，而整数相乘等于1的情况只有k=1且g=1，或者k=-1且g=-1，根本不存在g是d的情况，这样是不是就更清晰了？

另外补充个小细节：有时候咱们说“互质”默认是指正整数的gcd为1，但这里k取-1也不影响，因为gcd只看正值，所以r和s的gcd肯定是1。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者foot good