除数计数函数τ(n)满足τ(n)>(ln n)^a的无穷多整数n存在性问题咨询

大家好，我最近研究除数计数函数时碰到了一个问题，想和大家探讨：

首先定义除数计数函数：
$$\tau(n)=\sum_{d|n}1$$
这个函数的作用是计算正整数$n$的所有正约数的个数。

我的问题是：对于任意的$a\in[1,\infty)$，是否存在无穷多个正整数$n$，使得
$$\tau(n)>\left(\ln(n)\right)^{a}$$
成立？

我自己先尝试了特殊情况：

• 当$a=1$时，所有形如$n=2^{{k}$（$k$为正整数）的数都满足$\tau(2}{k})>\ln(n)$。因为$\tau(2^{k)=k+1$，而$\ln(2}k)=k\ln2$，当$k$足够大时，$k+1>k\ln2$显然成立，而且这样的$n$有无穷多个。

不过对于一般的$a\in[1,\infty)$，我还没找到思路构造对应的$n$，也不确定有没有现成的结论可以用，希望能得到大家的帮助。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者RAHUL