路径空间可缩性相关：同伦映射G的连续性证明及紧致开拓扑泛性质应用问询

问题背景 #

在Martin Arkowitz的著作中，作者指出路径空间$EX$（所有以$X$基点为终点的路径构成的空间）是可缩的，依据的同伦是$G: EX \times I \to EX$，定义为$G(l,t)(s)= l(s+(1-s)t)$。

我的疑问是：如何证明这个映射$G$确实是连续的？另外，有没有紧致开拓扑的泛性质可以用来处理这类涉及紧致开拓扑空间的连续映射构造问题？

解答 #

嗨，这个问题问得很关键，我来一步步给你拆解清楚：

1. 证明同伦映射$G$的连续性

首先明确一下，$EX$是所有满足$l(1)=x_0$（$x_0$是$X$的基点）的连续路径$l:I\to X$构成的空间，赋予的是紧致开拓扑。要证明$G$连续，我们可以用紧致开拓扑下一个非常实用的判别法则——伴随映射定理，这个法则也是紧致开拓扑核心泛性质的一种体现：

对于赋予紧致开拓扑的函数空间$C(Z,W)$，一个映射$F:Y\to C(Z,W)$是连续的，当且仅当它的伴随映射$F^\sharp:Y\times Z\to W$（定义为$F^\sharp(y,z)=F(y)(z)$）是连续的。

放到我们的问题里，$G$是从$EX\times I$到$EX$的映射，而$EX$本质上是$C(I,X)$的子空间（限制为终点是$x_0$的路径）。我们先构造$G$的伴随映射：
$$G^\sharp:(EX\times I)\times I\to X$$
它的定义是$G^{\sharp((l,t),s)=G(l,t)(s)=l(s+(1-s)t)$。接下来只需要证明$G}\sharp$连续，就能反过来推出$G$连续。

我们可以把$G^\sharp$拆成几个连续映射的复合：

• 第一步，定义映射$\varphi:I\times I\to I$，$\varphi(s,t)=s+(1-s)t$。这是欧氏空间里的线性组合，显然是连续的；
• 第二步，考虑赋值映射$\text{ev}:EX\times I\to X$，$\text{ev}(l,s)=l(s)$。在紧致开拓扑下，当定义域$I$是紧致Hausdorff空间时，赋值映射是连续的（这是紧致开拓扑的基本性质之一）；
• 第三步，构造复合映射：$(l,t,s)\mapsto (l,\varphi(s,t))$，这是$EX\times I\times I\to EX\times I$的连续映射（因为$\varphi$连续，乘积空间的投影和复合都保持连续性）；
• 最后，$G^{\sharp$就是这个复合映射和$\text{ev}$的拼接：$G}\sharp=\text{ev}\circ(\text{id}_{EX}\times\varphi)$。既然两个连续映射的复合还是连续的，那$G^\sharp$自然是连续的。

根据伴随映射定理，$G$作为从$EX\times I$到$EX$的映射，也就必然是连续的了。

2. 紧致开拓扑的泛性质在这类问题中的应用

当然有！刚才用到的伴随映射定理就是紧致开拓扑最核心的泛性质之一，除此之外，还有一个常用的指数法则：

如果$Y$是局部紧Hausdorff空间，那么函数空间$C(Y\times Z,W)$（赋予紧致开拓扑）和$C(Y,C(Z,W))$（同样赋予紧致开拓扑）是同胚的。

这个法则的作用是把“从乘积空间到$W$的连续映射”和“从$Y$到函数空间$C(Z,W)$的连续映射”互相转化，很多时候能把复杂的函数空间映射问题拆解成更直观的乘积空间映射问题——就像我们刚才证明$G$连续时，把问题转化成了证明$G^\sharp$这个乘积空间上的映射连续，思路一下子就清晰了。

另外，紧致开拓扑还有一些其他泛性质，比如它是使赋值映射连续的“最小拓扑”，或者对于紧集上的收敛有很好的刻画，但在处理这类构造性的连续映射问题时，伴随映射定理和指数法则是最常用的工具。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Naba Kumar Bhattacharya