关于从成对数字构成的算术数列中求解被移除数对之和的疑问及解法咨询

大家好，我最近碰到一道数学题，卡在这里了，想请教下各位的思路：

给定由数对组成的序列：$(1, 2), (3, 4), …,(x, x+1)$，我们需要从中移除一个数对。剩余所有数字的总和是156，求被移除的数对的和。

下面是我目前推导到的步骤：

• 首先，每个数对的和依次是 $3, 7, 11, ...$，这是一个等差数列。我设 $S_n$ 为该数列前 $n$ 项的和（也就是前 $n$ 个数对的总和），$n$ 代表数对的总数。
• 根据等差数列求和公式，计算得出：
  $$S_n=\dfrac{n}{2}(2(3)+(n-1)(4))=n(2n+1)$$
• 因为移除了一个和为 $y$ 的数对后，剩余数字总和是156，所以可得等式：
  $$n(2n+1)=156+y$$
• 接着，我把 $y$ 看作这个等差数列的第 $a$ 项，根据等差数列通项公式：
  $$y=3+(a-1)(4)=4a-1$$
• 将 $y$ 代入之前的等式，整理后得到：
  $$n(2n+1)=155+4a \Rightarrow a=\dfrac{n(2n+1)-155}{4}$$

之后我做了一些分析：

• 由于移除后的总和是偶数，所以 $n$ 必须是奇数；
• $a$ 必须是正整数，因此 $n(2n+1)-155$ 必须能被4整除。

但到这里我就卡住了，虽然我试出最小的 $a$ 是4，对应的 $y=15$ 是正确答案，但我搞不懂为什么必须是最小的 $a$？另外，有没有更直接的解法可以绕开这种试值的方式呢？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Zero