核函数$K(x,y) := \frac{1}{x+y}$诱导的$L^p$空间积分算子的有界性相关问题
嘿，这个问题其实是Hardy型积分算子的经典例子，我来一步步给你拆解清楚：
第一个问题：映射是否属于$L^p((0,t_0);\mathbb{R})$？
答案是肯定的——不仅如此，这个算子其实是从$L^p((0,t_0))$到自身的有界算子，自然就能保证对任意$f\in Lp$，$Af$也落在$Lp$里。
第二个问题：算子$A$是否有界？
答案同样是肯定的，而且不需要用闭图像定理（当然用也可以，但有更直接的构造性证明）。我推荐用Schur测试来证明，这个方法专门用来判断积分算子在$L^p$空间的有界性，比你尝试的Holder/Jensen/Minkowski更适配这个核函数的结构。
Schur测试的具体应用步骤：
Schur测试的核心是找到一个非负可测函数$h(y)$，使得：
- 对几乎所有$y\in(0,t_0)$，$\int_{0}^{t_0} |K(x,y)|h(x)dx \leq C h(y)$
- 对几乎所有$x\in(0,t_0)$，$\int_{0}^{t_0} |K(x,y)|h(y)dy \leq C h(x)$
其中$C$是只依赖$p$的常数。
我们取$h(y) = y^{-1/p}$（这里$q$是$p$的共轭指数，满足$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$）：
计算第一个积分：$\int_{0}^{t_0} \frac{1}{x+y}x^{-1/p}dx$
做变量替换$x=yt$，则$dx=ydt$，积分变为：
$$
\int_{0}^{t_0/y} \frac{1}{y(1+t)}(yt)^{-1/p}ydt = y{-1/p}\int_{0}{t_0/y}\frac{t^{-1/p}}{1+t}dt
$$
注意到反常积分$\int_{0}{\infty}\frac{t{-1/p}}{1+t}dt$是收敛的，它等于Beta函数$B(1-1/p,1/p)=\frac{\pi}{\sin(\pi/p)}$（这是只依赖$p$的常数，记为$C_p$）。而$\int_{0}{t_0/y}\frac{t{-1/p}}{1+t}dt \leq C_p$，所以第一个积分$\leq C_p h(y)$。计算第二个积分：$\int_{0}^{t_0} \frac{1}{x+y}y^{-1/p}dy$
类似地做变量替换$y=xt$，$dy=xdt$，积分变为：
$$
\int_{0}^{t_0/x} \frac{1}{x(1+t)}(xt)^{-1/p}xdt = x{-1/p}\int_{0}{t_0/x}\frac{t^{-1/p}}{1+t}dt \leq C_p h(x)
$$
满足Schur测试的两个条件，因此算子$A$是有界的，其范数$|A| \leq C_p$，完全由$p$决定，和$t_0$无关（当然$t_0$有限的话，这个常数只会更小）。
为什么你之前的方法没生效？
Holder不等式直接用的话，会出现$\int_{0}{t_0}\frac{1}{(x+y)q}dx$或者$\int_{0}{t_0}\frac{1}{(x+y)p}dy$的项，这些项当$y\to0$或$y\to t_0$时可能会发散，没法直接得到一致的界；Minkowski积分不等式需要交换积分顺序，但同样没找到合适的权重来控制发散项。而Schur测试通过引入权重函数$h(y)$，刚好抵消了核函数在边界的奇异性，完美解决了这个问题。
如果一定要用闭图像定理的话，思路是：
- 先证明$A$是线性算子（显然成立）；
- 假设$f_n\to f$在$L^p$中，且$Af_n\to g$在$L^p$中，需要证明$g=Af$；
- 利用核函数的局部可积性，先证明对几乎所有$y$，$Af_n(y)\to Af(y)$，再结合$L^p$收敛蕴含子列几乎处处收敛，就能得到$g=Af$，从而$A$是闭算子；
- 因为$L^p$是Banach空间，闭图像定理保证$A$有界。不过这个方法不如Schur测试直接，而且需要更多的测度论细节。
备注：内容来源于stack exchange，提问作者freiszo95
