如何证明(∀x∃y∀zP(x, y, z)) ⇒ (∃y∀x∀zP(x, y, z))是逻辑有效语句？

先聊聊你刚才的推导思路，这里面有个核心误区得先澄清：

你尝试给左侧加双重否定转换量词：
¬¬∀x ∃y ∀z P(x, y, z) ⇔ ¬∃x ¬∃y ∀z P(x, y, z)
接着你觉得可以交换x和y的量词位置（认为同类型量词能随意交换），得到：
¬∃y ¬∃x ∀z P(x, y, z)
再把否定推回去得到∀y ∃x ∀z P(x, y, z)，进而觉得∀x ∃y和∀y ∃x等价。

首先，∀x ∃y和∀y ∃x完全不等价！举个生活化的例子：假设论域是所有人，P(x,y)表示“x是y的孩子”，那∀x ∃y P(x,y)意思是“每个人都有父母”，这显然是真的；但∀y ∃x P(x,y)意思是“每个人都有孩子”，这明显是假的——所以量词顺序一旦不同，含义天差地别，绝对不能随便交换。

再看你的推导错误：你交换的∃x和∃y并不是直接相邻的同类型量词，¬∃x ¬∃y...里的∃x外层套了否定，内层的¬∃y是一个整体，这种情况下不能套用“同类型相邻量词可交换”的规则（规则只适用于比如∃x∃y... ⇔ ∃y∃x...这种直接相邻的情况）。

更重要的是：你要证明的这个命题本身并不是逻辑有效的！也就是说，存在一些模型使得左侧为真，但右侧为假，举个具体的反例：

• 论域取自然数集合N
• 定义P(x,y,z)为“y > x”（z在这里不影响，因为不管z是什么，只要y>x就为真）

此时左侧∀x∃y∀zP(x,y,z)是真的：对于任意自然数x，我们总能找到y=x+1（显然y>x），此时不管z取什么自然数，P(x,y,z)都成立。
但右侧∃y∀x∀zP(x,y,z)是假的：不存在一个自然数y，能满足“对所有自然数x，y>x”——因为自然数是无限递增的，没有最大的数。

这个反例直接说明原命题不是逻辑有效的，所以你没法证明它是逻辑有效语句哦。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Thax2000