求内接于多边形且与多边形外壳（hull）上给定点相切的最大圆的高效求解方法

嘿，这个问题挺有意思的——要找内切于多边形且刚好碰到凸包上指定点的最大圆，确实得找个比朴素近似更高效的路子。先理清楚核心需求：这个圆得满足两个关键条件，一是完全在多边形P₁内部，二是恰好与点P₂相切，同时半径要尽可能大。

先聊聊你提到的朴素近似思路：过P₂做对应凸包边的垂线，找这条垂线和多边形的交点，再缩放向量直到圆不与多边形其他地方相交。这个方向是对的，但反复缩放+检查交集的操作，在面对复杂多边形时会比较耗时，咱们可以换个更高效的解法：

核心思路：将问题转化为约束求解 #

因为圆和P₂相切，且P₂在凸包边上，所以圆心一定在过P₂且垂直于该凸包边的内法线上——这个结论是关键，直接把二维问题简化成了一维的参数求解问题。

具体步骤： #

• 第一步：确定可行的圆心路径
  假设P₂所在的凸包边是AB，先计算这条边的内法线方向（指向多边形内部的那个垂直方向），得到一条从P₂出发的半直线L——所有符合要求的圆心都必须在这条线上，圆心到P₂的距离就是圆的半径r。

• 第二步：参数化并推导约束条件
  把P₂作为原点，内法线方向设为单位向量$\boldsymbol{n}$，那么半直线L上的任意点可以表示为$t \cdot \boldsymbol{n}$（$t \geq 0$，$t$就是半径r）。现在我们要找最大的t，使得以$t \cdot \boldsymbol{n}$为圆心、t为半径的圆完全在P₁内部。

  对于多边形的每条边，我们可以写出t的约束：圆心到这条边的距离必须≥半径t（否则圆会穿出这条边）。用点到直线的距离公式推导：
  设某条边的一般式为$ax + by + c = 0$，圆心坐标是$(t \cdot n_x, t \cdot n_y)$，那么点到边的距离为$\frac{|a \cdot t \cdot n_x + b \cdot t \cdot n_y + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$，这个值要≥t。
  整理这个不等式，就能得到t的上限（因为t≥0）。遍历多边形所有边，取所有上限中的最小值，就是最大的可行半径r，对应的圆心就是$P₂ + r \cdot \boldsymbol{n}$。

• 替代方案：二分法快速收敛
  如果觉得推导所有边的约束有点繁琐，也可以用二分法：

  1. 先确定t的初始范围：下限是0，上限可以用你的朴素方法先得到一个粗略值，或者直接取多边形的最大内切圆半径作为初始上限。
  2. 每次取中间值mid，检查以$P₂ + mid \cdot \boldsymbol{n}$为圆心、mid为半径的圆是否完全在P₁内（检查圆心到每条边的距离≥mid，同时确保圆心在多边形内部）。
  3. 根据检查结果调整范围，直到收敛到足够精度的t值。

效率优化点 #

不用遍历多边形的所有边：可以先筛选出那些“可能限制t上限”的边——比如和半直线L方向夹角较小的边，或者多边形中朝向L方向的边，这样能减少计算量，进一步提升效率。

相比你的朴素缩放方法，这个思路要么直接通过约束求解得到精确解，要么用二分法快速收敛到最优解，避免了反复缩放和交集检查的冗余操作，在复杂多边形场景下效率会提升不少。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者kohjakob