关于构造处处不存在方向导数的多元连续函数及相关极限存在性的技术问询

嘿，我最近在研究怎么构造一个多元连续函数，且它的方向导数处处不存在，过程中做了一些尝试，也遇到了一个卡壳的问题，来跟大家分享和请教：

首先，先回顾一下经典的Weierstrass函数$W(x)$：它是一个处处连续，但处处不可导的函数，而且还能证明它的左右导数也处处不存在，这是我们构造的基础。

第一次尝试：$f(x,y)=W(x)\cdot\sin y$ #

这个函数显然是连续的（连续函数的乘积还是连续的），但它并不能满足“方向导数处处不存在”的要求：

• 当方向为$(\cos\theta, \sin\theta)\neq(0, \pm1)$时，方向导数不存在；
• 但在$(0, \pm1)$这两个方向上，方向导数是存在的。

具体推导一下：
令$\rho=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}$，$\Delta x=\rho\cdot\cos\theta$，$\Delta y=\rho\cdot\sin\theta$，方向导数的极限为：
$$
\begin{align*}
&\lim_{\rho\to0}\frac{W(x+\Delta x)\cdot\sin(y+\Delta y)-W(x)\cdot\sin y}{\rho} \
=&\lim_{\rho\to0}\frac{(W(x+\Delta x)-W(x))\cdot\sin(y+\Delta y)}{\rho}+\lim_{\rho\to0}\frac{(\sin(y+\Delta y)-\sin y)\cdot W(x)}{\rho} \
=&\sin y\cdot\cos\theta\cdot\lim_{\Delta x\to0}\frac{W(x+\Delta x)-W(x)}{\Delta x}+W(x)\cdot\cos y\cdot\sin\theta
\end{align*}
$$
因为$W(x)$处处不可导，第一个极限不存在，所以整个方向导数的极限不存在；但当$\cos\theta=0$（也就是方向$(0,\pm1)$）时，第一项直接消失，剩下的第二项是一个确定的有限值，所以这个方向上方向导数存在。

猜想的目标函数：$f(x,y)=W(x)+W(y)$ 或 $W(x)\cdot W(y)$ #

我猜想这两个函数应该是处处连续，并且处处不存在方向导数的，先拿$f(x,y)=W(x)+W(y)$来分析：

对于非坐标轴方向的单位向量$(\cos\theta,\sin\theta)\neq(\pm1,0),(0,\pm1)$（坐标轴方向的情况很明显，直接对应单变量Weierstrass函数的不可导性，方向导数不存在），方向导数的极限是：
$$
\begin{align*}
&\lim_{\rho\to0}\frac{W(x+\Delta x)+W(y+\Delta y)-W(x)-W(y)}{\rho} \
=&\lim_{\rho\to0}\frac{W(x+\Delta x)-W(x)}{\Delta x}\cdot\frac{\Delta x}{\rho}+\lim_{\rho\to0}\frac{W(y+\Delta y)-W(y)}{\Delta y}\cdot\frac{\Delta y}{\rho} \
=&\cos\theta\cdot\lim_{\Delta x\to0}\frac{W(x+\Delta x)-W(x)}{\Delta x}+\sin\theta\cdot\lim_{\Delta y\to0}\frac{W(y+\Delta y)-W(y)}{\Delta y}
\end{align*}
$$
现在问题来了：我们知道这两个单独的极限都不存在，但怎么证明它们的线性组合（系数$\cos\theta$和$\sin\theta$都不为0）也不存在呢？

这里可以用反证法+序列构造来证明：
假设这个线性组合的极限存在，设为$L$。因为$W(x)$处处不可导，所以存在序列${\rho_n}\to0$，使得$\frac{W(x+\rho_n\cos\theta)-W(x)}{\rho_n\cos\theta}\to+\infty$，同时我们可以取对应的$\Delta y_n=\rho_n\sin\theta$，由于$W(y)$的差商可以取无界振荡（Weierstrass函数的差商能趋向正负无穷），比如我们可以找到子序列${\rho_{n_k}}$，使得$\frac{W(y+\rho_{n_k}\sin\theta)-W(y)}{\rho_{n_k}\sin\theta}$趋向某个有限值$C$，那么整个组合就趋向$+\infty$；同时又存在另一个序列${\rho_n'}\to0$，使得$\frac{W(x+\rho_n'\cos\theta)-W(x)}{\rho_n'\cos\theta}\to-\infty$，对应的$\frac{W(y+\rho_n'\sin\theta)-W(y)}{\rho_n'\sin\theta}$趋向$C$，此时组合趋向$-\infty$。

一个极限不可能同时趋向$+\infty$和$-\infty$，矛盾，所以这个线性组合的极限不存在，也就是该方向的方向导数不存在。

再看$f(x,y)=W(x)\cdot W(y)$，这个函数也是处处连续的，分析它的方向导数：
对于任意方向$(\cos\theta,\sin\theta)$，方向导数的极限可以拆分为：
$$
\begin{align*}
&\lim_{\rho\to0}\frac{W(x+\rho\cos\theta)W(y+\rho\sin\theta)-W(x)W(y)}{\rho} \
=&\lim_{\rho\to0} W(y+\rho\sin\theta) \cdot \frac{W(x+\rho\cos\theta)-W(x)}{\rho} + W(x) \cdot \frac{W(y+\rho\sin\theta)-W(y)}{\rho} \
=&\cos\theta \cdot W(y) \cdot \lim_{\Delta x\to0}\frac{W(x+\Delta x)-W(x)}{\Delta x} + \sin\theta \cdot W(x) \cdot \lim_{\Delta y\to0}\frac{W(y+\Delta y)-W(y)}{\Delta y}
\end{align*}
$$
这里因为$W$是连续的，所以$W(y+\rho\sin\theta)\to W(y)$。不管$\cos\theta$和$\sin\theta$是否为0：

• 如果其中一个系数不为0，对应的差商极限不存在，整个组合的极限就不存在；
• 如果两个系数都不为0，用刚才$f(x,y)=W(x)+W(y)$的反证法思路，同样能证明组合极限不存在。

所以$f(x,y)=W(x)\cdot W(y)$确实是处处连续且方向导数处处不存在的函数。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者HGF