关于带有限跳跃的cadlag函数上确界的紧致界证明问询

嗨，我来帮你搞定这个紧致界的证明问题！先把问题再明确一下：

给定cadlag函数 $f:[0,\infty)\rightarrow\overline{\mathbb{R}}$（右连续且左极限存在），定义停时：
$$T_n = \inf{t\geq 0\mid |f(s)-f(0)|\geq n}$$
已知对所有 $t$，跳跃幅度 $|\Delta f(t)|=|f(t)-f(t-)|\leq C$，我们需要证明：
$$\sup_{0\leq s\leq T_n}|f(s)-f(0)|\leq n+C$$

你的尝试方向是对的，但最后一步的放缩太宽松了，我们来调整一下思路，精准抓住左极限的性质：

关键分析步骤 #

1. 停时的核心性质：对于所有 $t < T_n$，必然有 $|f(t)-f(0)| < n$——这是停时定义直接给出的，没问题。
2. 左极限的有界性：当 $T_n < \infty$ 时，考虑 $T_n$ 处的左极限 $f(T_n-)$。因为所有小于 $T_n$ 的点 $t$ 都满足 $|f(t)-f(0)| < n$，而左极限是这些点函数值的极限，根据绝对值的连续性，必然有：
   $$|f(T_n-)-f(0)| \leq n$$
   这里不用纠结是否等于 $n$，只要知道它不超过 $n$ 就足够了。
3. 跳跃幅度的限制：利用已知的跳跃上界 $|\Delta f(T_n)| = |f(T_n)-f(T_n-)| \leq C$，结合三角不等式：
   $$|f(T_n)-f(0)| \leq |f(T_n)-f(T_n-)| + |f(T_n-)-f(0)| \leq C + n$$

结论推导 #

• 对于所有 $s < T_n$，$|f(s)-f(0)| < n \leq n+C$；
• 对于 $s = T_n$，$|f(T_n)-f(0)| \leq n+C$；

因此整个区间 $[0, T_n]$ 上的上确界自然满足：
$$\sup_{0\leq s\leq T_n}|f(s)-f(0)| \leq n+C$$

这样就得到了Jacod和Shiryaev书中的紧致界啦，你之前的问题是错误地把 $|f(T_n-)-f(0)|$ 额外加了一次 $n$，其实它本身就被 $n$ 控制住了，不需要再叠加~

备注：内容来源于stack exchange，提问作者AlmostSureUser