线性映射方程$f(\vec{x})=\vec{y}$的解的存在性与结构讨论问询

大家好，我已经完成了下面线性代数问题的(a)部分，现在卡在了(b)部分，希望能得到社区的帮助：

问题背景 #

考虑一个维数为2的实线性空间$W$，基为$B = {w_1, w_2}$：
(a) 求线性映射$f : \mathbb{R^4} \rightarrow W$的表达式$f(x)$，该映射的核是子空间$N = {(x_1, x_2, x_3, x_4) : x_1 + 3x_2 + x_4 = 0}$，且满足条件$f(0, 0, 0, 1) = \vec{w_1} − \vec{w_2}$。
(b) 讨论方程$f(\vec{x})=\vec{y}$的解的情况。

我的进展 #

我已经完成了(a)部分，得到$f$在$\mathbb{R^4}$标准基下的作用结果如下：

• $f(-3,1,0,0)=(0,0,0,0)$
• $f(-1,0,0,1)=(0,0,0,0)$
• $f(0,0,1,0)=(0,0,0,0)$
• $f(0,0,0,1)=\vec{w_1}-\vec{w_2}$

对于(b)部分，我看到需要讨论的增广矩阵是：
$$\begin{pmatrix} -3 & 1 & 0 & 0 & | & y_1\ -1 & 0 & 0 & 1 & | & y_2 \ 0 & 0 & 1 & 0 & | & y_3 \ 0 & 0 & 0 & 1 & | & y_4 \end{pmatrix}$$

我猜测直接用高斯消元可能不太顺手，目前只想到当$\vec{y}=0$时，方程的解就是映射的核$N$，但对于$\vec{y}\neq0$的情况完全没思路，想请教大家该怎么完整讨论这个方程的解的存在性和结构？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Aley20