求公平6面骰子首次集齐所有偶数或所有奇数所需的平均投掷次数

嘿，你的模拟结果7.3完全正确，对应的精确分数是73/10（也就是7.3）。咱们用状态期望的方法一步步拆解开推导：

首先，我们定义状态为(e, o)，其中e是已经收集到的不同偶数数量（0、1、2、3），o是已经收集到的不同奇数数量（0、1、2、3）。游戏结束的条件是e=3（集齐所有偶数）或者o=3（集齐所有奇数），这两种状态的期望步数都是0（游戏已经结束）。我们的目标是求初始状态(0,0)的期望步数E(0,0)。

利用对称性，E(e,o)=E(o,e)，这能帮我们省不少计算量：

1. 初始状态(0,0)
   每次掷骰子，有1/2概率得到新偶数（进入状态(1,0)），1/2概率得到新奇数（进入状态(0,1)）。因为E(1,0)=E(0,1)，所以方程可以简化为：

E(0,0) = 1 + E(1,0)

2. 状态(1,0)
   此时已收集1个偶数、0个奇数：

• 1/6概率掷到已有的那个偶数，状态不变；
• 1/3概率掷到新的偶数，进入状态(2,0)；
• 1/2概率掷到任意奇数，进入状态(1,1)。
  整理后得到方程：

5E(1,0) = 6 + 2E(2,0) + 3E(1,1)

3. 状态(2,0)
   此时已收集2个偶数、0个奇数：

• 1/3概率掷到已有的偶数，状态不变；
• 1/6概率掷到最后一个偶数，游戏结束（期望为0）；
• 1/2概率掷到任意奇数，进入状态(2,1)。
  整理后得到方程：

4E(2,0) = 6 + 3E(2,1)

4. 状态(1,1)
   此时已收集1个偶数、1个奇数：

• 1/3概率掷到已有的偶数或奇数，状态不变；
• 1/3概率掷到新的偶数，进入状态(2,1)；
• 1/3概率掷到新的奇数，进入状态(1,2)（由对称性E(1,2)=E(2,1)）。
  整理后得到方程：

E(1,1) = 3/2 + E(2,1)

5. 状态(2,1)
   此时已收集2个偶数、1个奇数：

• 1/2概率掷到已有的偶数或奇数，状态不变；
• 1/6概率掷到最后一个偶数，游戏结束；
• 1/3概率掷到新的奇数，进入状态(2,2)。
  整理后得到方程：

3E(2,1) = 6 + 2E(2,2)

6. 状态(2,2)
   此时已收集2个偶数、2个奇数：

• 2/3概率掷到已有的偶数或奇数，状态不变；
• 1/3概率掷到最后一个偶数或奇数，游戏结束。
  整理后直接得到：

E(2,2) = 3

接下来从最底层状态往上代入求解：

• 把E(2,2)=3代入状态(2,1)的方程，得到E(2,1)=4；
• 把E(2,1)=4代入状态(1,1)的方程，得到E(1,1)=11/2=5.5；
• 把E(2,1)=4代入状态(2,0)的方程，得到E(2,0)=9/2=4.5；
• 把E(2,0)和E(1,1)代入状态(1,0)的方程，得到E(1,0)=63/10=6.3；
• 最后代入初始状态的方程，得到E(0,0)=1 + 63/10=73/10=7.3。

这样就得到了精确解：平均需要73/10次（也就是7.3次）投掷来结束游戏。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Imperator