关于ℚ∖{0}及ℚ去掉有限/无限点集后在ℝ通常拓扑中的稠密性问题

嘿，你的思路完全没错，咱们一步步把这几个拓扑问题理清楚：

1. $\mathbb{Q}\setminus{0}$在$\mathbb{R}$通常拓扑中是否稠密？ #

答案是肯定的，你的直觉完全正确。回忆一下稠密性的核心定义：一个集合$A$在$\mathbb{R}$中稠密，当且仅当$\mathbb{R}$中的每个非空开区间$(a,b)$都包含$A$中的至少一个元素。

咱们用定义来验证：

• 对于任意开区间$(a,b)$，因为$\mathbb{Q}$本身在$\mathbb{R}$中稠密，所以区间里一定存在某个有理数$q$。
• 如果$q\neq0$，那$q\in\mathbb{Q}\setminus{0}$，直接满足条件；
• 如果$q=0$，说明这个区间包含0，也就是$a<0<b$。这时候我们可以取一个很小的正有理数（比如$\frac{b}{2}$，只要$b>0$）或者负有理数（比如$\frac{a}{2}$，只要$a<0$），这个数必然在$(a,b)$里，而且不等于0。

所以不管哪种情况，$\mathbb{Q}\setminus{0}$都和任意开区间相交，因此它在$\mathbb{R}$中稠密。

2. 去掉$\mathbb{Q}$中的有限个点后，剩余集合是否稠密？ #

答案也是肯定的。假设我们从$\mathbb{Q}$中去掉有限个点$q_1,q_2,\dots,q_n$，得到集合$S=\mathbb{Q}\setminus{q_1,q_2,\dots,q_n}$。

任取$\mathbb{R}$中的非空开区间$(a,b)$，因为$\mathbb{Q}$在$\mathbb{R}$中稠密，所以$(a,b)$里包含无穷多个有理数。而我们只去掉了有限个点，所以无穷多个有理数里肯定剩下至少一个不在${q_1,q_2,\dots,q_n}$中，也就是属于$S$。这就满足了稠密性的定义，所以$S$依然在$\mathbb{R}$中稠密。

3. 是否存在无限个点从$\mathbb{Q}$去掉后，剩余集合仍稠密？ #

当然存在，而且例子很多。举几个常见的：

• 去掉所有正整数：取$S=\mathbb{Q}\setminus\mathbb{N}$，任意开区间$(a,b)$里总能找到不是正整数的有理数。比如区间$(0.2,0.3)$里的0.25，区间$(-3,-2)$里的-2.5，甚至长度大于1的区间里更是有无穷多这样的数，所以$S$稠密。
• 去掉所有形如$\frac{1}{n}$（$n\in\mathbb{N}$）的有理数：同样，任意开区间里总能找到不是这种形式的有理数。比如区间$(0.1,0.2)$里的0.15，它不是任何$\frac{1}{n}$，所以属于剩余集合，满足稠密性。

本质上，只要去掉的无限集合是$\mathbb{Q}$的一个“稀疏”子集——不会占据所有开区间里的有理数，剩余集合就依然能保持稠密性。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Ryukendo Dey