参数/向量弧长为何是速度的积分？相关概念疑问

先明确几个基础公式：
$$\mathrm{Speed}=\lvert\mathrm{velocity}\rvert$$
对于二维参数曲线，速率的计算基于勾股定理：
$$\mathrm{speed}=\sqrt{\left(\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt}\right)^{!2}+\left(\frac{\mathrm dy}{\mathrm dt}\right)^{!2}}$$

你提到的用$\mathrm dy$和$\mathrm dx$构成三角形、斜边长度就是速率的理解完全没问题，这确实是这个公式的核心逻辑。

至于你疑惑的“弧长（总距离）为何是速率的积分”，咱们可以从最朴素的运动逻辑拆解：

• 平时匀速运动时，总距离=速率×总时间，但变速运动里速率一直在变，没法直接用这个公式。
• 这时候咱们可以把整个运动过程拆成无数个极短的小时间段$\Delta t$——在这么短的时间里，速率几乎不会变化（毕竟时间太短，速度来不及大幅改变），那每个$\Delta t$内物体走过的微小距离$\Delta s$，就可以近似成「当时的瞬时速率×$\Delta t$」。
• 而你之前理解的那个“$\mathrm dy$和$\mathrm dx$构成的斜边”，其实就是$\Delta s$的精确表达：当$\Delta t$趋近于0时，$\Delta s = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}$，把$\Delta x = \frac{dx}{dt}\Delta t$、$\Delta y = \frac{dy}{dt}\Delta t$代入，就得到$\Delta s = \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2}\Delta t$，也就是「瞬时速率×$\Delta t$」。

积分的本质就是把这些无数个微小的$\Delta s$全部累加起来——当$\Delta t$无限趋近于0时，这个累加的结果就精确等于物体运动轨迹的总弧长（也就是总路程）。你说的“微小的速率斜边切片”其实方向是对的，更准确地说，是每个极短时间内物体实际走过的微小弧长片段，积分就是把这些片段无缝拼接成了完整的总路程。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者JackOfAll