测度论中可测函数q范数估计引理的证明思路求助

我现在正在努力搞懂下面这个测度论里的引理：

引理：设$(X,\mathcal{A},\mu)$是测度空间，$u:X \to \mathbb{R}$是$X$上的可测函数。若$s > 1$，且$\mu({|u| > t}) \leq C_0 t^{-s}$，则对任意$q \in [1,s)$，有
$$|u|_q \leq \left(\frac{s}{s-q}\right)^{1/q} C_0^{1/s} \mu(X)^{(s-q)/sq}.$$

我已经完成了以下推导步骤：

• (1) 因为$u$是可测函数，所以$|u|:X \to [0,\infty)$也是可测的，因此集合${|u|>t}$属于$\mathcal{A}$——毕竟它是$|u|$对博雷尔集$(t,\infty) \in \mathcal{B}(\mathbb{R})$的原像。
• (2.1) 如果$\mu(X) = 0$，那么$\mu$是$X$上的零测度，结论显然成立。
• (2.2) 如果$\mu(X) = \infty$，结论就简化为$|u|_q \leq \infty$，这也总是成立的。
• (3) 因此不妨假设$0 < \mu(X) < \infty$。
• (4) 我尝试估计$q$-范数，定义$A:= {|u|>t}$，$B:={|u|\leq t}$，得到了下面的推导：
  $$
  \begin{align*}
  |u|q^q
  &= \int_X |u(x)|^q \mathrm{d}\mu(x) \
  &= \int{A \sqcup B} |u(x)|^q \mathrm{d}\mu(x) \
  &= \int_{A} |u(x)|^q \mathrm{d}\mu(x) + \int_{B} |u(x)|^q \mathrm{d}\mu(x) \
  &\leq \int_{A} |u(x)|^q \mathrm{d}\mu(x) + \int_{B} t^q \mathrm{d}\mu(x) \
  &= \int_{A} |u(x)|^q \mathrm{d}\mu(x) + t^q \mu(B) \
  &= \int_{A} |u(x)|^q \mathrm{d}\mu(x) + t^q \mu(X \setminus A) \
  &= \int_{A} |u(x)|^q \mathrm{d}\mu(x) + t^q \mu(X) - t^q \mu(A) \
  &\leq ||u|^q|{\infty,A} \mu(A) + t^q \mu(X) - t^q \mu(A) \
  &\leq ||u|^q|{\infty,A} C_0 t^{-s} + t^q \mu(X) - t^q \mu(A)
  \end{align*}
  $$
  但到这里我要么是走偏了方向，要么就是没看出来接下来该怎么推进...

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Philippe Knecht