关于求解首位非零的n位三进制数中含至少1个2的数的个数的推导困惑与证明求助

嘿，我来帮你梳理下问题出在哪，以及怎么完成证明：

首先，你的核心问题出在三个地方：

1. 手动计数错误，导致递推公式错了 #

你说n=3时符合条件的数有13个，但实际正确数量是14个！少算了一个（比如102或者200这类）。这个错误直接让你推导了错误的递推关系$a_n=3a_{n-1}+1$，而正确的递推应该是基于“前n-1位已有2，后面加0/1/2”加上“前n-1位无2，后面加2”，其中后者的数量不是固定的1，而是随n变化的。

2. 补集法的总数量和无2数量算错了 #

你用$3^n -2^n$来计算，这是错误的：

• $3^n$是所有n位三进制数（包括首位为0的，比如012其实是两位）的总数，但我们的问题是首位非零的n位三进制数，总数应该是：第一位有2种选择（1、2），后面n-1位各3种，即$2 \times 3^{n-1}$；
• 不含2的数的数量：首位只能选1（不能选0或2），后面n-1位只能选0或1，即$1 \times 2^{n-1}$。

所以用补集法直接就能得到正确公式：
$$a_n = 2 \times 3^{n-1} - 2^{n-1}$$

验证下：

• n=1：$2*3^0 -2^0=2-1=1$ ✔️
• n=2：$2*3^1 -2^1=6-2=4$ ✔️
• n=3：$2*3^2 -2^2=18-4=14$ ✔️

3. 组合数计算遗漏了分类 #

你用$\binom{2}{1}+\binom{2}{2}$算n=2的情况，结果不对，是因为没区分“首位是2”和“首位不是2”两种情况：

• 恰好有k个2的数，要分两类：
  • 首位是2：剩下n-1位选k-1个位置放2，其余放0/1，数量是$\binom{n-1}{k-1} \times 2^{n-k}$；
  • 首位是1：剩下n-1位选k个位置放2，其余放0/1，数量是$\binom{n-1}{k} \times 2^{n-1-k}$；
• 把k从1到n求和，最终结果也会和补集法一致（用二项式定理就能化简到$2*3^{n-1}-2{n-1}$）。

怎么完成证明？ #

这里给你两种简单的方法：

方法一：补集法（最直接） #

1. 计算总数量：首位非零的n位三进制数，第一位有2种选择，后面n-1位各3种，总数为$2 \times 3^{n-1}$；
2. 计算不含2的数量：首位只能选1，后面n-1位只能选0/1，数量为$2^{n-1}$；
3. 至少含一个2的数量 = 总数量 - 不含2的数量，即：
   $$a_n = 2 \times 3^{n-1} - 2^{n-1}$$

方法二：数学归纳法证明递推公式 #

首先，正确的递推关系是：
$$
\begin{cases}
a_1 = 1 \
a_n = 3a_{n-1} + 2^{n-2}
\end{cases}
$$
（解释：前n-1位已有2的数，后面加0/1/2共3种；前n-1位无2的数，后面必须加2，而前n-1位无2的数有$2^{n-2}$个）

用归纳法证明：

• 基础情况：n=1时，$a_1=1$，代入公式$2*3^{0}-2{0}=1$，成立；
• 归纳假设：假设n=k时，$a_k=2*3^{k-1}-2{k-1}$成立；
• 归纳步骤：当n=k+1时，
  $$
  \begin{align*}
  a_{k+1} &= 3a_k + 2^{(k+1)-2} \
  &= 3*(23^{k-1}-2{k-1}) + 2^{k-1} \
  &= 23^k - 32^{k-1} + 2^{k-1} \
  &= 23^k - 2^k \
  &= 23^{(k+1)-1} - 2^{(k+1)-1}
  \end{align}
  $$
  符合公式，因此对所有正整数n成立。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Ragov