含积分的无穷级数求和问题（0<a<b<1）

嘿，我来帮你理清楚这个问题！你说已经算出积分了，那我们就从积分结果入手，一步步拆解这个求和问题。

首先，先确认积分的计算结果：因为$\int \frac{1}{1+x}dx = \ln(1+x) + C$，代入你的上下限后，每个级数项的结果应该是：
$$
\int_{1/(k+b)}^{1/(k+a)} \frac{1}{1+x} dx = \ln\left(1 + \frac{1}{k+a}\right) - \ln\left(1 + \frac{1}{k+b}\right)
$$

接下来我们把这个式子化简，让望远镜求和的特征更明显：
$$
\ln\left(\frac{k+a+1}{k+a}\right) - \ln\left(\frac{k+b+1}{k+b}\right) = \left[\ln(k+a+1) - \ln(k+a)\right] - \left[\ln(k+b+1) - \ln(k+b)\right]
$$

现在把整个无穷级数拆成两个级数的差：
$$
\sum_{k=1}^{\infty} \left[\ln(k+a+1) - \ln(k+a)\right] - \sum_{k=1}^{\infty} \left[\ln(k+b+1) - \ln(k+b)\right]
$$

这里要注意：单独看这两个级数都是发散的，但它们的差是收敛的！我们来计算部分和的极限：

对于第一个级数的前$n$项和：
$$
S_n^{(a)} = \sum_{k=1}^n \left[\ln(k+a+1) - \ln(k+a)\right] = \ln(n+a+1) - \ln(1+a)
$$
这是标准的望远镜求和，中间的项全部抵消，只剩下首尾两项。

同理，第二个级数的前$n$项和：
$$
S_n^{(b)} = \sum_{k=1}^n \left[\ln(k+b+1) - \ln(k+b)\right] = \ln(n+b+1) - \ln(1+b)
$$

把两个部分和相减：
$$
S_n^{(a)} - S_n^{(b)} = \left[\ln(n+a+1) - \ln(1+a)\right] - \left[\ln(n+b+1) - \ln(1+b)\right]
$$
整理后得到：
$$
S_n^{(a)} - S_n^{(b)} = \ln\left(\frac{n+a+1}{n+b+1}\right) + \ln\left(\frac{1+b}{1+a}\right)
$$

当$n$趋向于无穷大时，$\frac{n+a+1}{n+b+1} = \frac{1 + \frac{a+1}{n}}{1 + \frac{b+1}{n}} \to 1$，所以$\ln\left(\frac{n+a+1}{n+b+1}\right) \to 0$。

最终，这个无穷级数的和就是：
$$
\sum_{k=1}^{\infty} \int_{1/(k+b)}^{1/(k+a)} \frac{1}{1+x} dx = \ln\left(\frac{1+b}{1+a}\right)
$$

是不是一下子就清晰了？关键是把积分结果拆成两个望远镜项的差，虽然单个级数发散，但它们的差收敛到了一个有限值~

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Kaustubh Limaye