关于黎曼曲面中亚纯1-形式√z dz无法唯一延拓的疑问

On page 107 of his Algebraic Curves and Riemann surfaces Miranda writes

The definition of a meromorphic or holomorphic $1$-form $\omega$ suggests that in order to define $\omega$ on a Riemann surface $X$, one must give local expression for $\omega$ (of the form $f(z)dz$) in each chart of an atlas for $X$. In fact, one can define $\omega$ by giving a single formula in a single chart. […] A [second] problem may arise, namely that the local expression does not transform uniquely to the other points of $X$. For example, consider the meromorphic $1$-form $\sqrt{z}dz$ defined on the complex plane with the negative axis removed, where the branch of the square root is chosen so that $\sqrt{1}=1$. This can be extended to the negative real axis but not uniquely. Hence we do not obtain a meromorphic $1$-form on the whole of $\mathbb{C}^*$.

你理解的方向完全没错，咱们来把这个问题拆解清楚：

首先，Miranda提到的“可以延拓到负实轴但不唯一”，本质就是解析延拓的多值性在搞鬼：

• 你一开始在$\mathbb{C}\setminus \mathbb{R}_{\leq0}$上取了满足$\sqrt{1}=1$的主分支平方根$\sqrt{z}$，如果想把这个函数延拓到负实轴附近的区域，比如取负实轴上方的小邻域，你可以沿着不绕原点超过半圈的路径做解析延拓，得到一个在该邻域内的全纯函数，它和原定义域重叠的部分和主分支完全一致；
• 但要是换个路径，沿着绕原点整整一圈的方向延拓主分支，你得到的会是$-\sqrt{z}$这个分支——毕竟绕原点一周，复数的辐角会增加$2\pi$，平方根的辐角就会增加$\pi$，函数值自然变成原来的相反数；
• 当你把这两种延拓方式用到负实轴上的点时，比如$-1$，第一种延拓得到$i$，第二种延拓得到$-i$，这就出现了两个完全不同的结果。

这就导致，当你试图把$\sqrt{z}dz$这个1-形式从$\mathbb{C}\setminus \mathbb{R}_{\leq0}$延拓到整个$\mathbb{C}^*$时，根本没办法得到一个全局唯一的亚纯1-形式——因为在负实轴（以及所有绕原点一周后的点）上，你能得到两个不同的局部表达式，它们没法拼成一个全局一致的形式。

简单来说，$\sqrt{z}dz$本身是个多值的亚纯1-形式，它没法在$\mathbb{C}^*$这个黎曼曲面上定义出单值的亚纯1-形式，核心问题就是平方根函数的多值性带来的延拓歧义。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Peter