满足abc=1的三元正实数不等式证明思路求助

问题描述 #

已知正实数 (a,b,c) 满足 (abc=1)，求证：
$$ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{1}{a+b+2} + \frac{1}{b+c+2} + \frac{1}{c+a+2} \geq \frac{15}{4} $$

我的尝试 #

我先尝试了换元法，令 (a= \frac{x}{y},b=\frac{y}{z}, c=\frac{z}{x})（这样天然满足 (abc=1) 的条件），把原不等式转化为了：
$$\frac{y}{x}+\frac{z}{y}+\frac{x}{z}+\frac{1}{\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+2}+\frac{1}{\frac{y}{z}+\frac{z}{x}+2}+\frac{1}{\frac{x}{y}+\frac{z}{x}+2} \geq \frac{15}{4}$$
之后我做了一些代数变形，但都没找到有效的突破口，现在卡在这儿了。

求助需求 #

希望能得到一些有指导性的提示，帮我推进这个不等式的证明，谢谢！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user1157491