几何分布下骰子滚动和的期望求解问询

我们反复投掷一枚6面的公平骰子，直到掷出数字3为止。求所有投掷结果的和的期望值。

我的思考过程： #

我定义了一个随机变量$X$来统计投掷次数，$X$服从参数为$\dfrac{1}{6}$的几何分布，即$X\sim G\left(\dfrac{1}{6}\right)$，对应的概率分布为：
$$P(X=k)=\left(\dfrac{5}{6}\right)^{k-1}\cdot\dfrac{1}{6}$$

接着我定义了另一个随机变量$S$，用来表示所有投掷结果的总和。

利用全期望公式，我得到：
$$E\left(S \right) =\sum ^{k}_{i=1}E( S| X= i) \cdot P( X= i)$$

我把第$1$到第$k$次的投掷结果分别记为$x_{1},x_{2},\ldots ,x_{k}$，那么$S=x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{k}$，由此可以推出：
$$E\left( S\right) =E\left( x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{k}\right)$$
$$\Rightarrow E( S| X= i) =E( x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{i}| X= i)$$

根据期望的线性性质，上式可以拆分为：
$$E( x_{1}|X=i) + E( x_{2}|X=i) + ... + E( x_{i}|X=i)$$

对于每个满足$1\leq t\leq i$的$t$，有：
$$ E( x_{t}|X=i)= \sum_{j=1}^{6} j \cdot \frac{P(x_t = j, X=i)}{P(X=i)} $$

进而可以得到：
$$E( S| X= i) = \sum_{t=1}^{i} \left( \sum_{j=1}^{6} j \cdot \frac{P(x_t = j, X=i)}{P(X=i)} \right) $$

不过我现在不太确定该如何计算这个式子中的分子部分，希望能得到一个提示。

谢谢！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者GreekMustard