关于分次幂余代数余结合性证明中表达式等价性的疑问

嗨，我来帮你把这个等价性的逻辑理清楚！咱们从余结合性的定义出发，一步步拆解两边的计算过程，你就能明白为什么它们是相等的了。

首先，余结合性要求对余代数$C$中的任意元素$x$，都满足：
$$(id \otimes \Delta) \circ \Delta(x) = (\Delta \otimes id) \circ \Delta(x)$$
因为$C = k[t]$是由${t^n | n \geq 0}$张成的向量空间，所以咱们只需要验证这个等式在基元素$t^n$上成立就够了（线性结构会帮我们推广到所有多项式）。

先计算左边：$(id \otimes \Delta)\Delta(t^n)$ #

根据题目给出的余积定义，第一步先算$\Delta(t^n)$：
$$\Delta(t^n) = \sum_{p + q = n} t^p \otimes t^q$$
接下来，$(id \otimes \Delta)$的作用是保持第一个张量分量不变，对第二个分量应用余积$\Delta$。所以把上面和式里的每个$t^{q$替换成$\Delta(t}q)$，也就是：
$$(id \otimes \Delta)\Delta(t^n) = \sum_{p + q = n} t^p \otimes \Delta(t^q)$$
再代入$\Delta(t^q) = \sum_{r + s = q} t^r \otimes t^s$，就得到：
$$(id \otimes \Delta)\Delta(t^n) = \sum_{p + q = n} t^p \otimes \left( \sum_{r + s = q} t^r \otimes t^s \right)$$
现在咱们交换求和顺序——先固定$p, r, s$，要求它们满足$p + (r + s) = n$，也就是$p + r + s = n$。所以左边可以重新写成：
$$\sum_{\substack{p, r, s \geq 0 \ p + r + s = n}} t^p \otimes t^r \otimes t^s$$

再计算右边：$(\Delta \otimes id)\Delta(t^n)$ #

同样先从$\Delta(t^n)$开始：
$$\Delta(t^n) = \sum_{p + q = n} t^p \otimes t^q$$
这次$(\Delta \otimes id)$的作用是对第一个张量分量应用余积$\Delta$，保持第二个分量不变。把每个$t^{p$替换成$\Delta(t}p)$：
$$(\Delta \otimes id)\Delta(t^n) = \sum_{p + q = n} \Delta(t^p) \otimes t^q$$
代入$\Delta(t^p) = \sum_{r + s = p} t^r \otimes t^s$，得到：
$$(\Delta \otimes id)\Delta(t^n) = \sum_{p + q = n} \left( \sum_{r + s = p} t^r \otimes t^s \right) \otimes t^q$$
同样交换求和顺序，固定$r, s, q$满足$(r + s) + q = n$，也就是$r + s + q = n$，右边可以写成：
$$\sum_{\substack{r, s, q \geq 0 \ r + s + q = n}} t^r \otimes t^s \otimes t^q$$

为什么两边相等？ #

你看，左边的求和是遍历所有非负整数三元组$(p, r, s)$满足三者之和为$n$，右边是遍历所有非负整数三元组$(r, s, q)$满足三者之和为$n$——本质上这两个求和都是在遍历所有三个非负整数加起来等于$n$的组合，只是用来标记变量的符号不一样而已！不管你把三个变量叫$(p, r, s)$还是$(r, s, q)$，对应的张量项$t^a \otimes t^b \otimes t^c$（其中$a+b+c=n$）是完全相同的，所以这两个求和的结果自然是相等的。

这样就验证了余结合性在基元素上成立，再结合线性性，整个余代数的余结合性就证明啦。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user965463