关于马尔琴科-帕斯图尔分布的矩生成函数及相关期望量的闭式表达或近似求解问询
嘿，这个问题真的贴合高维优化的实际需求——马尔琴科-帕斯图尔（Marchenko-Pastur，简称MP）分布的矩生成函数（MGF）和相关期望量，正是分析大规模线性问题梯度下降误差/损失曲线的关键工具，我来梳理下已知的结果：
首先先明确MP分布的基本形式：假设我们考虑的是形状参数γ=N/p（N为样本数，p为特征数，当N,p→∞时γ固定）、尺度参数σ的MP分布，其概率密度函数为：
$$
p(h) = \frac{1}{2\pi \sigma^2 \gamma h} \sqrt{(b - h)(h - a)} \quad \text{当 } a \leq h \leq b
$$
其中$a = \sigma^2(1 - \sqrt{\gamma})^2$，$b = \sigma^2(1 + \sqrt{\gamma})^2$；若γ>1（样本数多于特征数），分布还包含一个权重为$1 - 1/\gamma$的点质量在h=0处。你只需要考虑s<0的情况，这会简化一些分析。
1. 矩生成函数 $\text{mgf}(s) = E_h[\exp(hs)]$
闭式表达
MP分布的MGF没有初等函数的闭式解，但可以用特殊函数表示：
- 当γ≤1（无点质量）时，MGF可通过修正贝塞尔函数表达：
$$
\text{mgf}(s) = \frac{\exp(\sigma^2 s)}{\gamma} \cdot \frac{\sqrt{b} \text{I}_1(\sqrt{b} |s|) - \sqrt{a} \text{I}_1(\sqrt{a} |s|)}{\sqrt{|s|}}
$$
其中$\text{I}_1(\cdot)$是一阶修正贝塞尔函数。 - 当γ>1时，需要加上点质量的贡献：
$$
\text{mgf}(s) = \left(1 - \frac{1}{\gamma}\right) + \frac{\exp(\sigma^2 s)}{\gamma} \cdot \frac{\sqrt{b} \text{I}_1(\sqrt{b} |s|)}{\sqrt{|s|}}
$$
（此时a=0，对应项消失）
实用近似
根据s的取值范围，有几种好用的近似：
- 小|s|（s接近0的负值）：用泰勒展开，利用MP分布的矩递推公式：
$$
\text{mgf}(s) = 1 + \sigma^2 s + \frac{\sigma^4(1+\gamma)}{2} s^2 + \frac{\sigma6(1+3\gamma+\gamma2)}{6} s^3 + o(s^3)
$$
前几阶矩可以快速计算，足够覆盖梯度下降初期的误差分析需求。 - 大|s|（s绝对值很大的负值）：
- 若γ>1：点质量项主导，$\text{mgf}(s) \approx 1 - \frac{1}{\gamma}$（因为指数项$\exp(hs)$在h>0时趋近于0）；
- 若γ≤1：积分主要由支撑左端点a贡献，用端点近似可得$\text{mgf}(s) \approx \exp(sa) \cdot \frac{\sqrt{b - a}}{2\pi \sigma^2 \gamma \sqrt{a}}$。
2. 期望量 $f(s) = E_h[h\exp(hs)]$
这个量其实是MGF的一阶导数：$\frac{d}{ds}\text{mgf}(s) = f(s)$，所以可以直接从mgf的表达式推导：
闭式表达
对上面的特殊函数形式求导即可得到，比如γ≤1时：
$$
f(s) = \sigma^2 \text{mgf}(s) + \frac{\exp(\sigma^2 s)}{\gamma} \cdot \frac{b \text{I}_0(\sqrt{b} |s|) - a \text{I}_0(\sqrt{a} |s|)}{2|s|}
$$
其中$\text{I}_0(\cdot)$是0阶修正贝塞尔函数。
实用近似
- 小|s|：对mgf的泰勒展开求导，得到：
$$
f(s) = \sigma^2 + \sigma^4(1+\gamma) s + \frac{\sigma6(1+3\gamma+\gamma2)}{2} s^2 + o(s^2)
$$ - 大|s|：对应mgf的近似求导，比如γ>1时，$f(s) \approx 0$（因为点质量项导数为0，积分项趋近于0）；γ≤1时，$f(s) \approx a \cdot \exp(sa) \cdot \frac{\sqrt{b - a}}{2\pi \sigma^2 \gamma \sqrt{a}}$。
补充一句：你提到的高维优化场景中，这些期望量确实能刻画梯度下降的平均误差和损失曲线——当问题维度足够大时，样本协方差的特征值服从MP分布，损失函数的期望可以分解为这些特征值的函数期望，所以上面的结果完全适用。
备注：内容来源于stack exchange，提问作者Yaroslav Bulatov
