关于四元数代数Brauer等价与同构等价性的验证问询

你提出的这个结论是完全正确的，我来帮你梳理逻辑，打消你的疑虑：

首先明确几个关键前提：

• 两个k-代数Brauer等价的定义是：存在正整数n，使得 $(a,b)\otimes M_n(k)\simeq(c,d)\otimes M_n(k)$
• 域k上的四元数代数只有两种可能：要么是分裂的（即同构于全矩阵代数 $M_2(k)$），要么是k上的可除四元数代数（没有非平凡双边理想，且每个非零元都有逆元）

接下来用Wedderburn结构定理推导核心结论：
Wedderburn定理告诉我们：域k上的任何有限维单代数都能唯一（同构意义下）分解为 $M_n(D)$，其中D是k上的可除代数，且这里的n是唯一确定的。另外还有一个关键同构性质：对于k上的可除代数D，$D\otimes M_n(k)\simeq M_n(D)$。

必要性（Brauer等价 ⇒ 同构） #

假设$(a,b)$和$(c,d)$Brauer等价，即存在n使得 $(a,b)\otimes M_n(k)\simeq(c,d)\otimes M_n(k)$：

1. 如果$(a,b)$是分裂的（$\simeq M_2(k)$），那么左边同构于 $M_2(k)\otimes M_n(k)\simeq M_{2n}(k)$。右边$(c,d)\otimes M_n(k)$必须也同构于$M_{2n}(k)$，这意味着$(c,d)$只能是分裂的——如果它是可除代数，那么$(c,d)\otimes M_n(k)\simeq M_n(D)$，而$M_n(D)$是单代数但不是全矩阵代数（除非D=k，但可除四元数代数维度为4≠1，矛盾），因此$(c,d)\simeq M_2(k)\simeq(a,b)$。
2. 如果$(a,b)$是可除代数D，那么左边同构于 $D\otimes M_n(k)\simeq M_n(D)$。右边$(c,d)$不可能是分裂的（否则右边同构于$M_{2n}(k)$，而$M_n(D)$和$M_{2n}(k)$的可除部分分别是D和k，根据Wedderburn定理的唯一性，D必须≃k，矛盾），所以$(c,d)$只能是可除代数D'，此时右边同构于$M_n(D')$。由$M_n(D)\simeq M_n(D')$，根据Wedderburn定理的唯一性，可得D≃D'，即$(a,b)\simeq(c,d)$。

充分性（同构 ⇒ Brauer等价） #

如果$(a,b)\simeq(c,d)$，直接取n=1，就有$(a,b)\otimes M_1(k)\simeq(c,d)\otimes M_1(k)$，完全满足Brauer等价的定义，这一步是显然成立的。

综上，你提出的结论成立：域k上的两个四元数代数Brauer等价当且仅当它们同构。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者woolly-minded