无限加权和的排列不等式证明求助

问题背景与定义 #

设 $p\geq 1$，$(w_n){n\in\mathbb{N}}$ 是非递增的正数列，满足：
$$\lim{n\to\infty} w_n = 0 \quad \text{且} \quad \sum_{n=1}^\infty w_n = \infty$$

记 $S_\infty = { f:\mathbb{N}\to \mathbb{N}\mid f \text{ 是双射}}$（即所有自然数的排列构成的集合）。对于数列 $(x_n){n\in\mathbb{N}}$，若满足：
$$\sup{\pi\in S_\infty} \left( \sum_{n=1}^\infty |x_{\pi(n)}|^p w_n \right) <\infty$$
我们称 $(x_n^){n\geq 1}$ 是 $(x_n){n\geq 1}$ 的非递增重排——也就是存在排列 $\sigma\in S_\infty$，使得 $(x_n^){n\geq 1}=(|x{\sigma(n)}|)_{n\geq 1}$ 是一个非递增数列。

待证不等式 #

假设数列 $(x_n){n\geq 1}$ 满足：
$$\sup{\pi\in S_\infty} \left(\sum_{n=1}^\infty |x_{\pi(n)}|^p w_n \right)^{\frac{1}{p}} <\infty$$
求证以下不等式成立：
$$\sup_{\pi\in S_\infty} \left(\sum_{n=1}^\infty |x_{\pi(n)}|^p w_n \right)^{\frac{1}{p}} \leq \left(\sum_{n=1}^\infty |x_n^*|p w_n \right)^{\frac{1}{p}}$$

我的思路进展 #

我已经把问题简化到只需证明：
$$\sup_{\pi\in S_\infty} \sum_{n=1}^\infty |x_{\pi(n)}|^p w_n \leq \sum_{n=1}^\infty |x_n^*|p w_n$$
毕竟两边的级数都是正项递增序列的极限，它们各自等于自身有限和的上确界。我原本想，如果对任意 $k\in\mathbb{N}$，能找到对应的 $k'\in\mathbb{N}$ 使得：
$$\sup_{\pi\in S_\infty} \sum_{n=1}^k |x_{\pi(n)}|^p w_n \leq \sum_{n=1}^{k'} |x_n^*|p w_n$$
那原不等式自然就能成立。但现在卡在了怎么选合适的 $k'$——我试过考虑 $\sigma \circ \pi^{-1}(j)$（$\sigma$ 是生成非递增重排的那个排列），但完全不知道怎么处理非递增的权重序列 $(w_n)$，毕竟权重不受排列 $\pi$ 或 $\sigma$ 的影响。

求各位大佬给个优雅的收尾思路，或者换一种证明方法也行！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Victor Ronchim