凸五边形内切椭圆的性质及相关问题问询

最近我了解到，每个凸五边形都有唯一的内切椭圆。我对这个椭圆的性质，以及它和所在五边形之间的关系非常好奇。

具体来说，我有一个一直没找到答案的问题：是否存在至少一条椭圆的直径，使得这条直径所在的直线能将五边形的周长和/或面积平分成相等的两部分？

如果有人能解答这个问题，我会非常感激。另外，也欢迎提供任何相关主题的文献参考。还有个小补充：我目前还没找到关于“凸五边形内切椭圆唯一性”这一初始结论的证明，所以如果有相关参考资料也请不吝告知。

提前谢谢大家！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Juan Moreno