关于全1矩阵构造的n阶矩阵是否均为对合矩阵的求证

哇，你这个观察太精准了！完全没错——这个结论对任意正整数n都成立，咱们一步步拆解验证：

首先，先明确核心前提：设A是n阶全1矩阵，它有一个非常关键的性质：$A^2 = nA$。为什么呢？因为计算$A^{2$的任意(i,j)位置元素时，其实是A的第i行和第j列的点积，也就是n个1相加，结果是n，所以整个$A}2$的所有元素都是n，正好等于n倍的A，即$A^2 = nA$。

接下来咱们直接展开计算$H^2$：
已知$H = I - \frac{2}{n}A$，根据平方展开公式：
$$
H^2 = \left(I - \frac{2}{n}A\right)^2 = I^2 - 2 \cdot I \cdot \frac{2}{n}A + \left(\frac{2}{n}A\right)^2
$$

逐项化简：

• $I^2$就是单位矩阵$I$；
• 第二项化简后是$-\frac{4}{n}A$；
• 第三项先算系数平方：$\left(\frac{2}{n}\right)^2 = \frac{4}{n^{2}$，再结合$A}2 = nA$，代入后得到$\frac{4}{n^2} \cdot nA = \frac{4}{n}A$；

最后把三项加起来：
$$
H^2 = I - \frac{4}{n}A + \frac{4}{n}A = I
$$

你看，中间的含A项刚好完全抵消，结果就是单位矩阵，所以不管n是多少（只要是正整数，n=0的话矩阵本身就没有定义啦），$H^2=I$都成立。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Maksim