非函数型B样条曲线的控制点-基函数组合表达方法问询

从Hughes的开创性论文中，我了解到任意B样条曲线（或曲面）可表示为B样条基函数与控制点的线性组合，即：
$$
C(x) = \sum_{i=1}^n N_{i,p} B_i
$$
其中$N_{i,p}$表示p阶B样条的第i个基函数，$B_i$为系数（即控制点）。该形式在预定义平面上可有效生成目标B样条曲线/曲面。

我的问题是：是否存在方法以相同形式表达非函数型B样条曲线（即竖直线可与曲线存在多个交点）？例如，如何用上述形式表达下图中的曲线？

该曲线包含垂直与水平段，且两者均带有锯齿（分别存在竖直线/水平线与曲线交于两点的情况）。显然这类非函数型曲线无法直接分解为上述基函数形式，特此询问如何用相同形式对其进行显式表达，解析与数值表达方案均可。感谢解答！

当然可以用类似的线性组合形式表达这类非函数型B样条曲线，核心是将曲线定义为参数化形式，而非关于x的单值函数：

1. 参数化B样条曲线的标准形式 #

你提到的$C(x) = \sum_{i=1}^n N_{i,p} B_i$是单变量函数形式的B样条，仅适用于函数型曲线（每个x对应唯一y）。而通用的平面B样条曲线是参数化曲线，形式为：
$$
C(t) = \sum_{i=1}^n N_{i,p}(t) P_i
$$
其中：

• $t$是参数，取值于节点区间$[t_p, t_{n+1}]$
• $N_{i,p}(t)$是p阶B样条基函数，由节点向量定义
• $P_i = (x_i, y_i)$是二维控制点（而非单值系数）

这种参数化形式完全支持非函数型曲线，包括你图中的带垂直段、多交点的曲线——因为x和y都是参数t的函数，$x(t)$和$y(t)$各自独立由基函数组合生成，不存在“一个x对应多个y”的限制。

2. 针对示例曲线的实现思路 #

对于图中包含垂直/水平锯齿段的曲线，可按以下步骤构建：

• 确定节点向量：根据曲线的分段特性（比如垂直段、水平段的起止），设置节点向量以保证基函数在对应区间的连续性（比如0阶/1阶连续，实现折线状的锯齿）。
• 设置二维控制点：逐段定义控制点$(x_i,y_i)$，让参数t在不同区间时，$C(t)$生成垂直或水平的锯齿段。例如，垂直段对应x值固定、y随t变化的控制点组；水平段则对应y值固定、x随t变化的控制点组。
• 基函数计算：使用de Boor算法计算各参数t对应的基函数值，进而得到曲线的$(x,y)$坐标。

3. 数值与解析表达的可行性 #

• 解析表达：如果节点向量和控制点已知，可直接写出$x(t) = \sum N_{i,p}(t)x_i$和$y(t) = \sum N_{i,p}(t)y_i$的解析式，其中$N_{i,p}(t)$可通过Cox-de Boor递推公式展开。
• 数值表达：通过离散参数t的取值（比如t从0到1均匀采样），计算每个t对应的$(x,y)$坐标，即可得到曲线的数值点集，用于绘图或后续计算。

简单来说，只要把原形式中的单值系数$B_i$换成二维控制点$P_i$，把自变量x换成通用参数t，就能用完全类似的线性组合形式表达任意非函数型B样条曲线。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者ARessegetes_Stery