求解将k个最短弹簧调整至同长度的最小代价高效算法

问题分析 #

给定已排序的弹簧长度数组x（x₁ ≤ x₂ ≤ ... ≤ xₙ），每个弹簧移动D厘米的代价为1+2+…+D = D*(D+1)/2。对于每个查询k，需计算将前k个最短弹簧调整至同一长度的最小总代价，要求处理n,q ≤ 1e6的大数据量。

核心推导 #

移动D厘米的代价可展开为：

cost(D) = (D² + D) / 2

总代价为所有弹簧的代价之和，即：

total_cost = (sum(Dᵢ²) + sum(Dᵢ)) / 2

其中Dᵢ = |xᵢ - t|，t为目标长度。要最小化总代价，需同时优化sum(Dᵢ²)和sum(Dᵢ)，通过分析可知，最优的t对应前k个元素的中位数附近位置，且可通过前缀和快速计算对应代价。

最优解法步骤 #

1. 预处理前缀和与前缀平方和

   • 前缀和数组S：S[k] = x₁ + x₂ + ... + xₖ（S[0] = 0）
   • 前缀平方和数组Sq：Sq[k] = x₁² + x₂² + ... + xₖ²（Sq[0] = 0）
     这两个数组可在O(n)时间内完成计算。

2. 双指针法确定每个k的最优目标位置
   对于每个k，我们需要找到前k个元素中使总代价最小的位置m（即目标长度为xₘ）。利用双指针维护m：

   • 初始化m = 1
   • 遍历k从1到n：
     • 若m < k且调整到xₘ₊₁的代价更小，则m += 1
     • 记录当前m为opt[k]（k对应的最优位置）
       代价差的符号可通过简化公式判断（避免全量计算），确保每个k的处理均摊为O(1)，总时间O(n)。

3. 预处理每个k的最小代价
   对于每个k，利用opt[k]计算最小总代价：

   • 计算sum(Dᵢ²) = Sq[k] - 2*xₘ*S[k] + k*xₘ²
   • 计算sum(Dᵢ) = xₘ*(2m - k) + S[k] - 2*S[m]
   • 总代价为(sum(Dᵢ²) + sum(Dᵢ)) * inv2 % MOD，其中inv2 = 500000004（模1e9+7下2的逆元）
     所有运算需在模1e9+7下进行，注意处理负数（加模后再取模），同时使用64位整数避免溢出。

4. 处理查询
   每个查询k直接返回预处理好的ans[k]，时间O(1)，总查询时间O(q)。

关键注意事项 #

• 由于xᵢ可达1e9，计算xₘ*xₘ时需用64位整数（如C++中的long long），防止溢出后再取模。
• 模运算中除法需用逆元替代，2的逆元在1e9+7下为500000004。
• 双指针法确保了最优位置m的单调递增，保证了预处理的线性时间复杂度。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者randomAlgo