使用格林公式计算曲线积分时不同闭合曲线结果不一致的错误排查

我来帮你排查一下问题所在——核心错误出在格林公式对闭合曲线方向的要求上，格林公式规定只有当闭合曲线取逆时针正向时，曲线积分才等于二重积分，顺时针方向的话需要加负号，你两次应用时都忽略了这个关键点！

第一种方法的错误点 #

你构造的闭合曲线是：$\gamma$（从$(0,0)$到$(1,1)$沿$y=\sqrt{x}$）→ $u$（从$(1,1)$到$(1,0)$沿$x=1$）→ $v$（从$(1,0)$到$(0,0)$沿$y=0$），这个闭合曲线是顺时针方向，不符合格林公式的正向要求。

原本你写的等式：
$$\int_\gamma + \int_u + \int_v = \iint_K$$
是错误的，正确的关系应该是：
$$\int_\gamma + \int_u + \int_v = -\iint_K$$
（顺时针曲线积分等于负的二重积分）

代入你计算的数值：$\iint_K=\frac{1}{2}$，$\int_u=\cos1-2$，$\int_v=1-\cos1$，所以：
$$\int_\gamma = -\frac{1}{2} - (\cos1-2) - (1-\cos1)$$
计算后：
$$\int_\gamma = -\frac{1}{2} - \cos1 + 2 - 1 + \cos1 = \frac{1}{2}$$

第二种方法的错误点 #

你构造的闭合曲线是：$\gamma$（从$(0,0)$到$(1,1)$沿$y=\sqrt{x}$）→ $W$（从$(1,1)$到$(0,0)$沿$y=x$），同样是顺时针方向，所以格林公式的正确关系是：
$$\int_\gamma + \int_W = -\iint_K$$

代入你的计算结果：$\iint_K=\frac{1}{6}$，$\int_W=-\frac{2}{3}$，所以：
$$\int_\gamma = -\frac{1}{6} - \left(-\frac{2}{3}\right)$$
计算后：
$$\int_\gamma = -\frac{1}{6} + \frac{2}{3} = \frac{1}{2}$$

这样两种方法修正后结果就完全一致了！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者ilra