求解cot(10°)+cot(70°)-cot(50°)的值及探讨更优解法

大家好，今天咱们来搞定这个三角函数求值问题：计算$\boldsymbol{\cot(10^{{\circ})+\cot(70}{\circ})-\cot(50^{\circ})}$的精确值。先给大家展示一种经典的推导方法，之后再分享一个更简洁的思路，帮你更快上手这类问题~

一、经典推导过程 #

首先，先把推导要用到的核心三角函数恒等式列出来，这些都是咱们化简常用的“工具包”：

• $\sin A \cos B - \cos A \sin B = \sin(A-B)$
• $2 \sin A \sin B = \cos(A-B) - \cos(A+B)$
• $\cos(2A) = 2\cos^2 A - 1$
• $\cos(3A) = 4\cos^3 A - 3\cos A$
• $\sin(2A) = 2\sin A \cos A$
• $2\sin A \cos B = \sin(A+B) + \sin(A-B)$

接下来咱们一步步推导：

设$S_1 = \cot(10^{{\circ})+\cot(70}{\circ})-\cot(50^{{\circ})$，首先利用**余切和正切的互余关系**$\cot(90}{\circ}-x)=\tan x$，把$\cot(70^{{\circ})$换成$\tan(20}{\circ})$，表达式就变成了：
$$
\begin{aligned}
S_1 & =\cot(10^{{\circ})-\cot(50}{\circ})+\tan(20^{\circ}) \
& =\frac{\cos(10^{{\circ})}{\sin(10}{\circ})}-\frac{\cos(50^{{\circ})}{\sin(50}{\circ})}+\frac{\sin(20^{{\circ})}{\cos(20}{\circ})}
\end{aligned}
$$

先处理前两项的差，通分后用正弦差角公式化简分子，再用积化和差公式化简分母：
$$
\begin{aligned}
\frac{\cos(10^{{\circ})}{\sin(10}{\circ})}-\frac{\cos(50^{{\circ})}{\sin(50}{\circ})} &= \frac{\cos(10^{{\circ})\sin(50}{\circ}) - \cos(50^{{\circ})\sin(10}{\circ})}{\sin(10^{{\circ})\sin(50}{\circ})} \
&= \frac{\sin(50^{\circ}-10{\circ})}{\sin(10^{{\circ})\sin(50}{\circ})} \
&= \frac{2\sin(40^{{\circ})}{2\sin(10}{\circ})\sin(50^{\circ})} \
&= \frac{2\sin(40^{{\circ})}{\cos(40}{\circ}) - \cos(60^{\circ})} \
&= \frac{2\sin(40^{{\circ})}{\cos(40}{\circ}) - \frac{1}{2}}
\end{aligned}
$$

这里$\cos(60^{{\circ})=\frac{1}{2}$是特殊角的三角函数值，接下来用**二倍角公式**把$\cos(40}{\circ})$转化为$\cos(20^{\circ})$的表达式，整理分母：
$$
\cos(40^{\circ}) - \frac{1}{2} = 2\cos²⁽²⁰{\circ}) - 1 - \frac{1}{2} = \frac{4\cos²⁽²⁰{\circ}) - 3}{2}
$$

代入后前两项的差就变成：
$$
\frac{2\sin(40^{{\circ})}{\frac{4\cos}2(20^{\circ}) - 3}{2}} = \frac{4\sin(40^{{\circ})}{4\cos}2(20^{\circ}) - 3}
$$

现在把这个结果和第三项$\frac{\sin(20^{{\circ})}{\cos(20}{\circ})}$合并，利用积化和差公式$2\sin40^{{\circ}\cos20}{\circ}=\sin(60^{{\circ})+\sin(20}{\circ})$快速化简：
$$
\begin{aligned}
S_1 & =\frac{6 \sin \left(40^{\circ}\right) \cos \left(20^{\circ}\right)-3 \sin \left(20^{\circ}\right)}{0.5} \
& = \frac{3\left(2 \sin 40^{{\circ}\cos20}{\circ}-\sin20^{\circ}\right)}{0.5} \
& = 6\left(\sin60^{{\circ}+\sin20}{\circ}-\sin20^{\circ}\right) \
& = 6\times\frac{\sqrt{3}}{2} \
& = 3\sqrt{3}
\end{aligned}
$$

二、更简洁的思路：换元+角度关系 #

咱们可以通过换元简化角度，设$x=20^{{\circ}$，那么原式的角度都可以用$30}{\circ}\pm x$和$90^{\circ}-x$表示：
$$
S_1 = \cot(30^{\circ}-x) + \tan x - \cot(30^{\circ}+x)
$$

先计算$\cot(30^{{\circ}-x)-\cot(30}{\circ}+x)$，利用余切的差角公式展开后，分子会简化为$\sin(2x)$，分母用积化和差快速化简为$\frac{1}{2}(\cos40^{\circ}-\frac{1}{2})$，和经典解法的分母一致，后续步骤复用前面的化简逻辑就能更快得到结果。

另外，还可以利用正切的三倍角公式$\tan3x=\frac{3\tan x-\tan^3x}{1-3\tan2x}$，结合$\cot x=\frac{1}{\tan x}$把余切转化为正切后代入，也能快速推导出结果，感兴趣的小伙伴可以自己试试~

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Ekaveera Gouribhatla