关于格林第一、第二恒等式的两项技术疑问

嘿，你的这两个问题其实都戳中了格林恒等式推导里容易混淆的关键点，我来一步步给你理清楚：

问题1：关于$\vec{F}=\phi,\text{grad}(\psi)$的保守性与$\phi$项的作用 #

首先，你对旋度的直觉是对的，我们用矢量微积分的恒等式展开就能看到：
$$\text{curl}(\phi,\text{grad}\psi) = \nabla\phi \times \nabla\psi$$
只有当$\nabla\phi$和$\nabla\psi$平行（或者其中一个标量场是常数，梯度为零）时，这个旋度才会是零，否则$\vec{F}$确实不是保守场。

这里的核心误解是：格林恒等式的推导根本不要求$\vec{F}$是保守场！潜在理论里确实大量研究保守场（比如纯梯度场$\text{grad}\psi$），但这里构造$\vec{F}=\phi,\text{grad}\psi$只是一个“工具性的矢量场”——我们的目标是通过散度定理，把两个标量场$\phi$和$\psi$的边界积分与体积积分联系起来，而不是要研究$\vec{F}$本身的保守性。

这个$\phi$项的作用就是把两个标量场耦合起来：当我们计算$\text{div}(\vec{F})$时，会展开出$\nabla\phi\cdot\nabla\psi$和$\phi\nabla^2\psi$这两项，这正是格林第一恒等式想要建立的标量场之间的积分关系。我们只是在利用散度定理的通用性（它对任意满足光滑性条件的矢量场都成立），所以完全可以构造这样的$\vec{F}$来推导我们需要的结果。

问题2：为什么可以交换$\phi$和$\psi$得到(G1')？ #

你说得没错，交换$\phi$和$\psi$后得到的$\vec{F}'=\psi,\text{grad}\phi$确实是一个全新的矢量场，但这完全不妨碍我们对它应用散度定理！

格林第一恒等式的本质是一个**对任意两个$C^{2$标量场都成立的通用关系式**——只要$\phi$和$\psi$都满足$C}2$的光滑性（这是散度定理要求的前提条件），那么不管我们把哪个标量场乘在另一个的梯度上，散度定理的应用条件都能满足，自然就能得到对应的积分等式。

换个更通用的说法：对于任意$C^2$标量场$f$和$g$，格林第一恒等式可以写成：
$$\iint_{\partial V}f\frac{\partial g}{\partial \hat n};dS=\iiint_V(\vec\nabla f\cdot\vec\nabla g+f\nabla^2 g);dV$$
当你令$f=\phi, g=\psi$时就得到了(G1)，令$f=\psi, g=\phi$时就得到了(G1')——这只是把两个变量的名字互换了而已，完全不影响等式的成立性，因为原式对所有满足条件的$f,g$都有效。

交换后得到的新矢量场只是用来推导另一个满足通用形式的等式，而这正是推导格林第二恒等式的关键：用两个对称的等式相减，消掉交叉项$\nabla\phi\cdot\nabla\psi$，从而得到只含拉普拉斯算子的积分关系。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者whitenoise