关于测度空间限制下μ*可测集σ-代数对应关系的证明正确性检查

嘿，我仔细核对了你给出的这套测度论证明，整体逻辑非常顺畅，每一步的推导都严谨合规，完全正确！下面我把整理好的格式化内容呈现给你，方便你查看：

前置定义 #

设$(X, \mathcal X, \mu)$是测度空间，$\mu^{*$是由$\mu$诱导的外测度，$\mathcal{M}$是所有$\mu}*$-可测集构成的$\sigma$-代数，$(X, \overline{\mathcal X}, \overline \mu)$是$(X, \mathcal X, \mu)$的完备化。

设$(X_n)$是$\mathcal X$中两两不交的集合序列：

• $\mathcal X_n$是$\mathcal X$在$X_n$上诱导的子$\sigma$-代数，即$\mathcal X_n := {A \cap X_n : A \in \mathcal X}$；
• $\mu_n$是$\mu$在$\mathcal X_n$上的限制，即对所有$A \in \mathcal X_n$，$\mu_n (A) := \mu (A)$；
• 对每个$(X_n, \mathcal X_n, \mu_n)$，构造对应的外测度$\mu^{*_n$、$\mu_n}*$-可测集的$\sigma$-代数$\mathcal M_n$，以及完备化$(X_n, \overline{\mathcal X_n}, \overline{\mu_n})$。

引理及证明 #

引理：对所有$A \subset X_n$，有$\mu_n^* (A) = \mu^* (A)$。

引理证明 #

固定$A \subset X_n$，分两步推导：

1. 第一步：$\boldsymbol{\mu_n^(A) \ge \mu^(A)}$
   $$
   \begin{align}
   \mu_n^(A) &= \inf \left{ \sum_{m=1}^{\infty} \mu_n (B_m) : (B_m) \subset \mathcal X_n , A \subset \bigcup_m B_m \right} \
   &= \inf \left{ \sum_{m=1}^{\infty} \mu (B_m) : (B_m) \subset \mathcal X_n , A \subset \bigcup_m B_m \right} \quad (\text{因为} \mu_n = \mu |{\mathcal X_n})\
   &\ge \inf \left{ \sum{m=1}^{\infty} \mu (B_m) : (B_m) \subset \mathcal X , A \subset \bigcup_m B_m \right} \
   &= \mu^ (A).
   \end{align}
   $$
   这里的不等式成立是因为$\mathcal X_n \subset \mathcal X$，$\mathcal X_n$中的覆盖族是$\mathcal X$中覆盖族的子集，子集的下确界不会小于原集合的下确界。

2. 第二步：$\boldsymbol{\mu^(A) \ge \mu_n^(A)}$
   $$
   \begin{align}
   \mu^(A) &= \inf \left{ \sum_{m=1}^{\infty} \mu (B_m) : (B_m) \subset \mathcal X , A \subset \bigcup_m B_m \right} \
   &\ge \inf \left{ \sum_{m=1}^{\infty} \mu (B_m \cap X_n) : (B_m) \subset \mathcal X , A \subset \bigcup_m B_m \right}\
   &\ge \inf \left{ \sum_{m=1}^{\infty} \mu_n (B_m \cap X_n) : (B_m) \subset \mathcal X , A \subset \bigcup_m B_m \right} \
   &= \mu_n^ (A).
   \end{align}
   $$
   第一个不等式是因为测度的单调性$\mu(B_m \cap X_n) \le \mu(B_m)$；第二个不等式是因为${B_m \cap X_n}_{m=1}^\infty \subset \mathcal X_n$，且$A \subset \bigcup_m (B_m \cap X_n)$（因$A \subset X_n$），该覆盖族属于$\mu_n^{*$定义中的覆盖族，其下确界不会小于$\mu_n}*(A)$。

结合两步结论，可得$\mu_n^(A) = \mu^(A)$。
$\tag*{$\blacksquare$}$

定理及证明 #

定理：$\mathcal M_n = {A \cap X_n : A \in \mathcal M}$。

证明 #

首先回忆：$\mathcal{M}$是所有满足以下条件的集合$A \subseteq X$的全体：
$$
\mu^*(E)=\mu(E\cap A) +\mu^(E\cap (X \setminus A)) \quad \forall E\subset X.
$$

第一部分：$\boldsymbol{{A \cap X_n : A \in \mathcal M} \subseteq \mathcal M_n}$

任取$A \in \mathcal M$，令$A_n := A \cap X_n$，需证$A_n \in \mathcal M_n$。

任取$E\subset X_n$，则$E \subset X$，由$A \in \mathcal M$可得：
$$
\begin{align}
\mu^(E ) &= \mu^(E\cap A) +\mu^(E\cap (X \setminus A)) \
&= \mu^(E\cap A_n) +\mu^(E\cap (X_n \setminus A)) \quad (\text{因为} E \subset X_n)\
&= \mu^(E\cap A_n) +\mu^(E\cap (X_n \setminus (A \cap X_n))) \
&= \mu^(E\cap A_n) +\mu^(E\cap (X_n \setminus A_n)).
\end{align}
$$
结合引理$\mu_n^(E ) = \mu^{*(E)$，$\mu_n}(E\cap A_n) = \mu^(E\cap A_n)$，$\mu_n^(E\cap (X_n \setminus A_n)) = \mu^(E\cap (X_n \setminus A_n))$，可得：
$$
\mu_n^(E ) = \mu_n^(E\cap A_n) +\mu_n^*(E\cap (X_n \setminus A_n)).
$$
根据$\mathcal M_n$的定义，$A_n \in \mathcal M_n$。

第二部分：$\boldsymbol{\mathcal M_n \subseteq {A \cap X_n : A \in \mathcal M}}$

任取$A' \in \mathcal M_n$，只需证明$A' \in \mathcal M$（此时取$A=A'$，则$A' = A \cap X_n$）。

任取$E \subset X$，已知$\mathcal X \subset \mathcal M$，而$X_n \in \mathcal X$，故$X_n \in \mathcal M$，因此：
$$
\mu^(E) = \mu^(E\cap X_n) +\mu^(E\cap (X \setminus X_n)).
$$
又因为$(E \cap X_n) \subset X_n$，且$A' \in \mathcal M_n$，所以：
$$
\begin{align}
\mu^ (E \cap X_n ) &= \mu^((E\cap X_n) \cap A') +\mu^((E\cap X_n) \cap (X_n \setminus A')) \
&= \mu^(E\cap A') +\mu^((E\cap X_n) \cap (X \setminus A')).
\end{align}
$$
将其代入$\mu^(E)$的表达式：
$$
\begin{align}
\mu^(E) &= \mu^(E\cap A') +\mu^((E\cap X_n) \cap (X \setminus A')) +\mu^(E\cap (X \setminus X_n)) \
&= \mu^(E\cap A') +\mu^(E \cap (X_n \setminus A')) +\mu^(E\cap (X \setminus X_n)) \
&\ge \mu^(E\cap A') +\mu^( [E \cap (X_n \setminus A')] \cup [E\cap (X \setminus X_n)]) \
&= \mu^(E\cap A') +\mu^( E \cap [(X_n \setminus A') \cup (X \setminus X_n)]) \
&= \mu^(E\cap A') +\mu^( E \cap (X \setminus A')).
\end{align}
$$
另一方面，由外测度的次可加性，$\mu^(E) \le \mu^(E\cap A') +\mu^( E \cap (X \setminus A'))$恒成立，因此：
$$
\mu^(E) = \mu^(E\cap A') +\mu^( E \cap (X \setminus A')) \quad \forall E\subset X.
$$
根据$\mathcal M$的定义，$A' \in \mathcal M$。

综上，$\mathcal M_n = {A \cap X_n : A \in \mathcal M}$。
$\tag*{$\blacksquare$}$

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Akira