如何将两个楔积的内积表示为行列式？

嗨，我完全懂你纠结的点——楔积的∧符号看起来像是个“拦路虎”，没法直接和行列式挂钩，而且不想依赖$\mathbb{R}^3$里叉积的特殊情况，想要从楔积本身的性质推导对吧？咱们一步步来，完全不用高维以外的特殊技巧：

首先得明确前提：我们讨论的是**内积空间$V$**上的楔积，而$\Lambda^2 V$（$V$上的2-外形式空间）上的内积是由$V$本身的内积诱导出来的，这个诱导内积满足两个核心性质：

• 双线性：对每个变量都线性，比如$\langle \alpha \wedge \beta + \gamma \wedge \delta, \varepsilon \wedge \zeta\rangle = \langle \alpha \wedge \beta, \varepsilon \wedge \zeta\rangle + \langle \gamma \wedge \delta, \varepsilon \wedge \zeta\rangle$，$\langle c\alpha \wedge \beta, \varepsilon \wedge \zeta\rangle = c\langle \alpha \wedge \beta, \varepsilon \wedge \zeta\rangle$，对第二个变量同理；
• 反对称性：$\langle u \wedge v, x \wedge y\rangle = -\langle v \wedge u, x \wedge y\rangle = -\langle u \wedge v, y \wedge x\rangle$，这是因为楔积本身满足$u \wedge v = -v \wedge u$，内积会保持这种反对称性。

接下来的关键是：楔积本质上是反对称张量积，即$u \wedge v = u \otimes v - v \otimes u$（在商空间的投影，这里我们可以直接用这个等价关系推导内积）。而张量积空间上的内积定义很直接：$\langle u \otimes v, x \otimes y\rangle = \langle u,x\rangle\langle v,y\rangle$。

现在我们把左边的内积用这个定义展开：

$\langle u \wedge v, x \wedge y\rangle = \frac{1}{2}\langle u \otimes v - v \otimes u, x \otimes y - y \otimes x\rangle$

（乘$\frac{1}{2}$是为了保证反对称子空间内积的规范性，避免重复计算）

根据内积的双线性，把这个式子展开成四项：

= $\frac{1}{2}\left[\langle u \otimes v, x \otimes y\rangle - \langle u \otimes v, y \otimes x\rangle - \langle v \otimes u, x \otimes y\rangle + \langle v \otimes u, y \otimes x\rangle\right]$

然后代入张量积内积的定义，把每一项替换成普通内积的乘积：

= $\frac{1}{2}\left[\langle u,x\rangle\langle v,y\rangle - \langle u,y\rangle\langle v,x\rangle - \langle v,x\rangle\langle u,y\rangle + \langle v,y\rangle\langle u,x\rangle\right]$

现在合并同类项：

• $\langle u,x\rangle\langle v,y\rangle = \langle v,y\rangle\langle u,x\rangle$
• $\langle u,y\rangle\langle v,x\rangle = \langle v,x\rangle\langle u,y\rangle$

代入后化简：

= $\frac{1}{2}\left[2\langle u,x\rangle\langle v,y\rangle - 2\langle u,y\rangle\langle v,x\rangle\right] = \langle u,x\rangle\langle v,y\rangle - \langle u,y\rangle\langle v,x\rangle$

而右边的行列式展开后正好是这个结果：

$\det\begin{bmatrix}\langle u,x\rangle&\langle v,x\rangle\\\langle u,y\rangle&\langle v,y\rangle \end{bmatrix} = \langle u,x\rangle\langle v,y\rangle - \langle u,y\rangle\langle v,x\rangle$

两者完全相等！

哦，原来如此——你觉得没法“去掉”∧符号，其实这个过程就是把楔积的内积通过它的反对称张量积定义，转化成了普通内积的组合，而这个组合正好就是行列式的展开式。整个推导完全不依赖$\mathbb{R}^3$的叉积，在任意维内积空间都成立。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Ben1669