关于局部最小割与全局最小割的关系及非全局最小割的(t,s)最小边割实例问询

嘿，咱们先把问题里的几个核心定义理清楚，再直接给你一个符合要求的例子，一目了然：

核心定义梳理 #

• 边割（Edge Cut）：从连通图中移除后，会导致图不再连通的边的集合。
• 极小边割（Minimal Edge Cut）：一类特殊的边割——只要把这个集合里的任意一条边放回图中，图就会重新连通。
• (t,s)-极小边割：专门用来分离顶点t和s的极小边割，移除它之后t和s处于不同的连通分量，且放回任意一条边都能让t和s重新连通。

咱们的核心问题是：(t,s)-极小边割一定是图G的全局极小割吗？ 换句话说，有没有这样的图G，存在某个(t,s)-极小边割，但它并不是G的全局极小割？

实例构造 #

当然存在！我给你构造一个简单的图：
假设图G有6个顶点：t、a、b、s、c、d，边的连接情况如下：

1. t、a、b构成一个三角形：有边t-a、t-b、a-b
2. s、c、d构成另一个三角形：有边s-c、s-d、c-d
3. 用一条边a-c把两个三角形连接起来，让整个图成为连通图

现在来看两个关键的割：

• 全局极小割：就是那条连接两个三角形的边{a-c}。移除它之后，图会分成两个独立的连通分量{t,a,b}和{s,c,d}，而且这是图中大小最小的边割（大小为1）。
• 非全局极小的(t,s)-极小边割：取集合{t-a, t-b}。咱们验证一下：
  1. 移除这两条边后，t会被孤立，和s完全不连通，符合(t,s)-割的要求；
  2. 放回其中任意一条边（比如t-a），t就能通过a→a-c→c→s的路径重新和s连通，满足“极小”的定义；
  3. 这个割的大小是2，明显比全局极小割的大小1要大，所以它不是G的全局极小割。

这样就完美符合你要找的情况啦！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者licheng