范畴论中初始对象同构体的证明疑问：同构的唯一性是否为必要条件？

我在看一份初始对象同构性的证明时，卡在了一个细节上——这个证明里提到同构是唯一的，但我感觉这个唯一性性质好像没被用到，这让我特别困惑。

先把这个证明过程理一遍：

假设I是初始对象，I'和I同构，设$f$是从I到I'的同构，$g$是它的逆映射。

我们要证明I'也是初始对象，也就是对任意对象X，存在唯一的态射$I' \rightarrow X$。

因为I是初始对象，所以存在唯一的态射$s: I \rightarrow X$，那我们至少能得到一个从I'到X的态射：$s \circ g$。接下来要证明这个态射是唯一的，我们任取一个态射$t: I' \rightarrow X$，然后推导：

$$
s = t \circ f \tag*{都是从I到X的态射，而s是唯一的}
$$

$$
s \circ g = t \circ f \circ g \tag*{两边左复合g}
$$

$$
s \circ g = t \tag*{因为$f \circ g = id_{I'}$}
$$

这样就得出任何$t: I' \rightarrow X$都等于$s \circ g$，证明就完成了。

但我纠结的点在于：这个证明完全没用到I和I'之间的同构是唯一的这个性质啊。按这个逻辑，如果I和I'之间还有另一个同构$f', g'$，那同样的推导会得出t同时等于$s \circ g$和$s \circ g'$，这看起来是矛盾的？

不过这里其实不会有矛盾，因为I是初始对象的话，它和I'之间的同构本来就是唯一的。可问题是，我觉得这个“同构唯一”的事实应该在证明里被用到才对，但书上却说：“我们不需要用到I和I'唯一同构这一点，因为这个唯一性本身就是I作为初始对象的推论”。

我现在完全搞不懂了，有没有人能帮我理清这个逻辑？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Andrea Simone Costa