关于参数积分不连续性及不存在L¹可积控制函数的证明疑问

先跟大家说下我的问题背景：

我定义了函数 $f(x, w) = x \exp(-(xw)²)$，然后令 $g(x) = \int_\mathbb{R} f(x,w) d\lambda(w)$（这里$\lambda$是勒贝格测度）。通过变量替换$t = xw$很容易验证：

• 当$x > 0$时，$g(x) = \sqrt{\pi}$；
• 当$x < 0$时，$g(-x) = -\sqrt{\pi}$。

所以$g(x)$在$x=0$处是不连续的。

另外还有两个基本观察：

• 对任意固定的$x \in \mathbb{R}$，映射$w \mapsto f(x,w)$是可测的，因为它是连续函数；
• 对任意固定的$w \in \mathbb{R}$，映射$x \mapsto f(x,w)$也是连续的，因为它可以写成连续映射的复合。

这就引出了一个关键点：如果存在一个$L^1(\mathbb{R})$中的函数$M(w)$，使得对所有$x \in \mathbb{R}$，勒贝格几乎所有的$w \in \mathbb{R}$都满足$|f(x,w)| \le M(w)$，那根据控制收敛定理，$g(x)$应该在整个$\mathbb{R}$上连续，但实际$g$在0处不连续，所以这样的$M(w)$肯定不存在。

现在我尝试证明这个控制函数不存在，但我的推理好像有问题，想请大家帮我找找错误：

假设存在这样的$M \in L^1(\mathbb{R})$，那么对所有$x \in \mathbb{R}$，几乎所有$w \in \mathbb{R}$都有：
$$|f(x,w)| = |x| \exp(-(xw)^2) \le M(w)$$

我当时想，取$w \in (-\frac{1}{x}, \frac{1}{x})$，这个区间里$(xw)^2 < 1$，所以$\exp(-(xw)^2) > e^{-1}$，于是$|x| \exp(-(xw)^2) > |x| e^{-1}$。当$x \to \infty$时，这个下界会趋向无穷大，那$M(w)$在这个区间上就没法有界了？但转念一想，当$x \to \infty$时，区间$(-\frac{1}{x}, \frac{1}{x})$会收缩到空集，那是不是$M(w)$在几乎所有点上都能满足上界？我到底哪里错了？

（编辑：我后来觉得，可能不能这么选$w$，因为这里的$x$不是固定的，每换一个$x$对应的区间都不一样，是不是这个原因？）

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Ata Keskin