利用傅里叶变换计算$e^{-a|x|} \ast e^{-a|x|}$（$a>0$）的卷积

我来一步步帮你拆解这个问题，用你已经掌握的傅里叶变换知识搞定这个卷积计算～

首先明确已知的核心信息：

• 定义$f(x) = e^{-a|x|}$（$a>0$），它的傅里叶变换你已经推导出来了：
  $$\hat{f}(\xi) = \frac{2a}{a^2 + 4\pi^2\xi2}$$
• 傅里叶变换的卷积性质：两个函数卷积的傅里叶变换，等于它们各自傅里叶变换的乘积，也就是$\widehat{(f\ast f)} = (\hat{f})^2$。反过来，卷积本身就是这个乘积的逆傅里叶变换，所以我们可以写出：
  $$e^{-a|x|} \ast e^{-a|x|} = \int_{\mathbb{R}} \left(\frac{2a}{a^2 + 4\pi^2\xi2}\right)^2 e^{2i\pi x\xi} d\xi$$

接下来就用你之前知道的「$x\mapsto \frac{1}{1+x^2}$的傅里叶变换是$\xi\mapsto\pi e^{-|\xi|}$」这个结论来简化积分，分四步走：

步骤1：整理被积函数，凑匹配形式 #

先把分母的二次式提取公因子$a^2$：
$$a^2 + 4\pi^2\xi2 = a^2\left(1 + \left(\frac{2\pi\xi}{a}\right)^2\right)$$
平方后分母变为：
$$\left(a^2 + 4\pi^2\xi2\right)^2 = a^4\left(1 + \left(\frac{2\pi\xi}{a}\right)^2\right)2$$
代入积分后，被积函数可以拆成：
$$\left(\frac{2a}{a^4\left(1 + \left(\frac{2\pi\xi}{a}\right)^2\right)2}\right) e^{2i\pi x\xi} = \frac{4}{a^3} \cdot \frac{1}{\left(1 + \left(\frac{2\pi\xi}{a}\right)^2\right)2} e^{2i\pi x\xi}$$

步骤2：变量替换，对齐已知结论的形式 #

令$t = \frac{2\pi\xi}{a}$，那么$\xi = \frac{at}{2\pi}$，对应的微分$d\xi = \frac{a}{2\pi}dt$。把这些代入积分，替换掉所有$\xi$：
$$
\begin{align*}
\int_{\mathbb{R}} \left(\frac{2a}{a^2 + 4\pi^2\xi2}\right)^2 e^{2i\pi x\xi} d\xi &= \frac{4}{a^3} \int_{\mathbb{R}} \frac{1}{(1 + t²⁾2} e^{2i\pi x \cdot \frac{at}{2\pi}} \cdot \frac{a}{2\pi}dt \
&= \frac{2}{\pi a} \int_{\mathbb{R}} \frac{1}{(1 + t²⁾2} e^{i a x t} dt
\end{align*}
$$

步骤3：推导关键积分的结果 #

现在需要计算$\int_{\mathbb{R}} \frac{e^{i k t}}{(1 + t²⁾2} dt$（这里令$k = a x$）。我们可以通过对已知的傅里叶变换公式求导，或者用复变函数留数定理计算，最终得到：
$$\int_{\mathbb{R}} \frac{e^{i k t}}{(1 + t²⁾2} dt = \frac{\pi}{2}(1 + |k|)e^{-|k|}$$

步骤4：代入得到最终卷积结果 #

把$k = a x$代入上面的积分结果，再乘以前面的系数$\frac{2}{\pi a}$：
$$
\frac{2}{\pi a} \times \frac{\pi}{2}(1 + |a x|)e^{-|a x|} = \frac{1}{a}(1 + a|x|)e^{-a|x|}
$$

最终的卷积结果就是：
$$\boxed{e^{-a|x|} \ast e^{-a|x|} = \frac{1}{a}(1 + a|x|)e^{-a|x|}}$$

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Exercise To The Reader