积分性质与微积分基本定理相关题目的解答校验及疑问咨询

我现在对这道积分相关的题目第(i)部分比较有把握，但后面的(ii)和(iv)还拿不准，下面是我的解题过程，能不能帮我检查这三个部分？我主要卡在最后一部分了。

题目原文 #

设 $f:[1,3] \to [4,15]$ 是一个有界可积函数，且对所有 $x \in [0,1]$，定义 $G(x) = \int_{1}^{2+x}{f(t)} , dt$。

$(i)$ 利用积分的性质证明：对所有 $x \in [0,1]$，有 $4x \leq G(x) - G(0) \leq 15x$。（3分）

$(ii)$ 利用(i)的结论证明：$\lim_{x \to 0^+}G(x)=G(0)$（2分）

$(iv)$ 利用微积分第一基本定理，找到一个实数 $c$，使得如果 $f$ 在 $x=c$ 处连续，则 $G$ 在 $x=0$ 处可导，且 $G'(0)=f(c)$。（1分）

我的解题过程 #

(i) 部分 #

利用积分的可加性，我们可以改写：
$$G(x) - G(0) = \int_{1}^{2+x}{f(t)} , dt - \int_{1}^{2}{f(t)} , dt = \int_{1}^{2}{f(t)} , dt + \int_{2}^{2+x}{f(t)} , dt - \int_{1}^{2}{f(t)} , dt = \int_{2}^{2+x}{f(t)} , dt$$

现在利用积分的估值性质——因为 $f$ 的取值范围是$[4,15]$，即对所有$t$，$4 \leq f(t) \leq 15$，于是有：
$$4((2+x)-2) \leq G(x) - G(0) \leq 15((2+x)-2)$$
化简后得到 $4x \leq G(x) - G(0) \leq 15x$，得证。$\square$

(ii) 部分 #

对(i)中的不等式两边取 $x \to 0^+$ 的极限：
$$\lim_{x \to 0^+}(4x) \leq \lim_{x \to 0^+}(G(x) - G(0)) \leq \lim_{x \to 0^+}(15x)$$

因为 $G(0)$ 是一个常数，和$x$无关，根据极限的线性运算法则，可以拆写为：
$$\lim_{x \to 0^+}(4x) \leq \lim_{x \to 0^+}G(x) - G(0) \leq \lim_{x \to 0^+}(15x)$$

由极限的基本运算，$\lim_{x \to 0^+}x=0$，所以左边和右边的极限都是0，即：
$$0 \leq \lim_{x \to 0^+}G(x) - G(0) \leq 0$$

根据夹逼准则，$\lim_{x \to 0^+}G(x) - G(0)=0$，也就是 $\lim_{x \to 0^+}G(x) = G(0)$，得证。$\square$

(iv) 部分 #

我一开始误以为$c=0$，但仔细一想发现不对劲——$f$的定义域是$[1,3]$，$x=0$根本不在这个区间里，所以说$f$在$x=0$处连续完全不成立！我写下了微积分第一基本定理，但这题只给1分，应该不会太复杂，是不是应该结合微积分第一基本定理和链式法则来推导$G'(0)$？实在搞不清该取哪个$c$。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user1071088