含分数系数二项式系数的方程中x的求解/近似计算问题
嘿，很高兴能帮你拆解这个问题！我们一步步来，先从二项式系数的近似入手，再推导x的解，分大n和小n两种情况来讨论：
一、大n情况下的渐近近似
当n足够大时，$k = x \cdot \log_2 n$也会很大，这时候我们可以用斯特林公式来近似二项式系数（广义二项式系数用Gamma函数的斯特林近似也适用）：
斯特林公式的核心是：$\Gamma(z+1) \approx z^z e^{-z} \sqrt{2\pi z}$（阶乘是Gamma函数的特例：$m! = \Gamma(m+1)$）
对于$\binom{k}{k/2} = \frac{\Gamma(k+1)}{[\Gamma(k/2+1)]^2}$，代入斯特林公式化简后可以得到：
$$\binom{k}{k/2} \approx \frac{2^k}{\sqrt{\pi k / 2}}$$
把这个近似代入原方程$\binom{k}{k/2} = n$，再结合$k = x \cdot \log_2 n$（此时$2^k = 2^{x\log_2 n} = n^x$），可以得到：
$$\frac{n^x}{\sqrt{\pi x \log_2 n / 2}} = n$$
两边除以n后整理：
$$n^{x-1} = \sqrt{\frac{\pi x \log_2 n}{2}}$$
对两边取以2为底的对数：
$$(x-1)\log_2 n = \frac{1}{2}\log_2\left(\frac{\pi x \log_2 n}{2}\right)$$
因为n很大时，右边的对数项增长远慢于左边的$(x-1)\log_2 n$，我们可以用不动点迭代来求近似解：
- 先取初始值$x_0 = 1$
- 代入右边迭代得到：$x_1 = 1 + \frac{1}{2\log_2 n}\log_2\left(\frac{\pi \log_2 n}{2}\right)$
- 若需要更精确的结果，把$x_1$再代入右边得到$x_2$即可，通常一次迭代就足够用了
进一步简化的话，当n极大时，x≈1，对数里的x可以近似为1，得到渐近表达式：
$$x \approx 1 + \frac{\log_2(\pi \log_2 n / 2)}{2\log_2 n}$$
二、小n情况下的数值求解
当n较小时（比如n=2、4、8这类），斯特林公式的误差会比较大，这时候直接用数值方法更靠谱：
- 因为x是n的减函数，我们可以用二分法来求解：比如先确定x的范围（比如n=4时，x在1.6-1.7之间），然后不断缩小区间找到满足$\binom{x\log_2 n}{x\log_2 n /2} = n$的x值
- 也可以借助计算Gamma函数的工具（比如Python的
scipy.special.gamma）来直接计算广义二项式系数，然后通过试错或优化算法找到x
举个例子，n=2时，$x\log_2 2 = x$，方程变为$\binom{x}{x/2}=2$，代入x=2时刚好满足$\binom{2}{1}=2$，和你观察到的一致。
总结
- 大n时用渐近近似公式或不动点迭代，能快速得到足够精确的x值
- 小n时用数值方法（二分法、Gamma函数计算）直接求解更准确
备注：内容来源于stack exchange，提问作者geosnow
