均匀分布置信区间推导疑问：关于$V = \frac{Y}{\theta}$的选择及PDF变换中的额外$\theta$项

我最近在复习一个连续均匀分布的置信区间推导例题，有两个点一直搞不明白，想请教大家：

问题背景 #

设$X_1,...,X_n$是来自区间$[0, \theta]$上连续均匀分布的随机样本，用CDF方法可证$Y_n = \max(X_1,...,X_n)$的概率密度函数（pdf）为：
$$ f(y;\theta) = \frac{n}{\theta ^n}y{n-1}, \quad 0 < y < \theta $$
其他区间上pdf为0。要求构造$\theta$的一个有效的$100(1-\alpha)%$置信区间。

我的思路与疑问 #

我先明确了统计量是$Y_n = \max(X_1,...,X_n)$，接下来需要找一个依赖于这个统计量的函数，但例题的解答里直接设了$V = \frac{Y}{\theta}$（这里例题里写的“样本均值”应该是笔误），然后把$Y = V\theta$代入原pdf，得到了：
$$ f(y;\theta) = \frac{n}{\theta ^n}(v\theta){n-1} *\theta $$

这里我就卡壳了：

1. 为什么要选$V = \frac{Y}{\theta}$这个函数？ 我不清楚这个选择的依据是什么，感觉有点突兀。
2. PDF变换后的额外$\theta$项是怎么来的？ 我本来以为代入$Y=V\theta$后应该是：
   $$ f(y;\theta) = \frac{n}{\theta ^n}(v\theta){n-1} $$
   但例题里多了一个乘$\theta$的操作，我试过不带这个$\theta$去计算，结果和正确的置信区间对不上，完全搞不懂这个项的来源。

后面的代数化简、积分求解$k$的步骤我都能理解，最终得到的置信区间是：
$$ 0 < \frac{Y}{(1-\alpha)^\frac {1}{n}} < \theta $$

就是前面这两个点一直绕不过来，希望有人能帮忙解释清楚~

备注：内容来源于stack exchange，提问作者svin95