实值函数可测性的推导问题求助

嘿，这个问题的核心技巧是利用可测集的可数并保持可测性，我给你一步步梳理清楚：

你已经知道${a < f < b} = {f > a} \cap {f < b}$，现在要从“所有开区间对应的原像${a < f < b}$可测”，推出“对任意$a \in \mathbb{R}$，${f > a}$可测”。

我们可以把${f > a}$拆成可数个题目里给的可测集的并集：对于任意固定的$a$，取一列逐渐增大到$+\infty$的数，比如$b_n = a + n$（$n=1,2,3,\dots$），那么有：
$${f > a} = \bigcup_{n=1}^\infty {a < f < b_n}$$

我们来验证这个等式的正确性：

• 从左到右：每个${a < f < b_n}$里的元素都满足$f > a$，所以它们的并集肯定是${f > a}$的子集；
• 从右到左：如果$x \in {f > a}$，因为$f(x)$是有限实数（题目里$f$映射到$\mathbb{R}$，没有无穷值），那一定存在某个正整数$n$，使得$f(x) < a + n$（比如取$n$为大于$f(x)-a$的整数），所以$x$属于${a < f < a + n}$，也就是属于右边的并集。

根据题目条件，每个${a < f < b_n}$都是可测集，而可测集的可数并仍然是可测集，所以${f > a}$必然是可测集。

既然对所有$a \in \mathbb{R}$，${f > a}$都可测，那$f$就满足实值函数可测的定义啦～

备注：内容来源于stack exchange，提问作者領域展開