二次努力成本下专利竞赛方程组解的单调性与不等式证明问询

各位大神好！我最近在研究一个基于二次努力成本的专利竞赛模型，推导得到了对应的方程组，但在证明解的单调性结论时遇到了瓶颈——尤其是n=2的情形，我已经用非常繁琐的变量边界分步估计法证出来了，但过程长达好几页，完全没什么直观性，想请教有没有更简洁、更具直觉的证明思路。

问题设定 #

给定参数$r>0$，变量$v_{i,j} \in [0,1]$（其中$i,j = 0,\dots,n$）满足以下方程组：
\begin{align}
0 &= \tfrac 1 2 e_{i,j}^2 + e_{j,i} v_{i,j+1} - (r+e_{j,i}) v_{i,j}, \tag{*} \
e_{i,j} &= v_{i+1,j}-v_{i,j}, \
v_{n,j} &= 1, \
v_{i,n} &= 0,
\end{align}
其中$i,j = 0,\dots,n-1$。

待证结论 #

需要证明两个核心单调性结论：

• 结论a：对固定的$i \in {0,\dots,n-1}$，函数$j \mapsto e_{i,j}$在$j \leq i$时单调递增，在$j \geq i$时单调递减。
• 结论b：对固定的$j \in {0,\dots,n-1}$，函数$i \mapsto e_{i,j}$单调递增。

特殊情形（n=2） #

当$n=2$时，需要具体验证以下不等式：
$$e_{0,1} < e_{0,0} < e_{1,0} < e_{1,1}$$

经济解释 #

这个方程组对应经典的双玩家专利竞赛场景：

• 双方需要完成$n$项独立发现才能申请专利，率先完成的玩家获胜（收益为1），落败者收益为0。
• 当玩家已完成$i$项发现、对手完成$j$项时，其付出的努力水平为$e_{i,j} \geq 0$，该值同时代表其完成下一项发现的风险率，对应的即时成本流为$\frac{1}{2}(e_{i,j})^2$。
• 时间维度为连续型，未来收益以折现率$r>0$进行折现，$v_{i,j}$代表该状态下玩家的期望折现未来净收益（即获胜概率减去努力成本的时间积分现值）。
• 结论的经济直觉是：玩家在势均力敌（neck and neck）时会付出最高努力，不管是领先还是落后，都会降低努力意愿。

研究背景与我的当前进展 #

这个问题自上世纪80年代起就被经济学家广泛研究，但大多数文献聚焦于一般凸性努力成本函数，而上述方程组（*）是在二次成本这一更严格假设下推导得到的——需要注意的是，在一般凸性成本情形下，$v_{i,j}$的单调性并不一定成立（参考Grossman and Shapiro (1987)的研究）。

我已经通过分步估计各变量上下界的方法证明了n=2的特殊情形，但过程非常技术化，整整写了好几页，几乎没有任何直观性可言，所以想请教各位有没有更简洁的证明方法，或者能抓住核心直觉的思路？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Pavel Kocourek