关于生成函数M(z)的奇点分析及系数渐近展开的求解咨询

这个问题和我之前的几个问题相关：

请对生成函数
$$ M(z) := \frac{1 - z - \sqrt{1 - 2 z - 3 z^2}}{2 z}$$
进行奇点分析，证明其系数的渐近展开式为：
$$[z^n]M(z) = 3^n \sqrt{\frac{3}{4 \pi n^3}} \biggl(1+\mathcal{O}\biggl(\frac{1}{n}\biggr) \biggr)$$

我已经理解$\boldsymbol{1/3}$是$M(z)$的主导奇点，并且在课堂上学过转移定理以及标准函数尺度公式：

设$\alpha \in \mathbb{C} \setminus \mathbb{Z}_{\le 0}$，则
$$[z^n] (1-z)^{-\alpha} = \frac{n^{\alpha-1}}{\Gamma(\alpha)} \biggl(1+\mathcal{O}\biggl(\frac{1}{n}\biggr) \biggr).$$

我发现这个标准函数尺度公式和目标结果看起来很相似，但不知道该怎么在这里应用，能不能给我一个提示？

编辑：目前我已经取得的进展
利用$(1-3z)^{1/2}$的二项式展开：
$$(1-3z)^{1/2} = \sum_{k \ge 0} \binom{1/2}{k} 3^kzk$$
结合标准函数尺度公式，以及$\Gamma(1/2) = \sqrt{\pi}$，可以得到：
$$z^n^{1/2} = \frac{3^n}{n{3/2}\Gamma(1/2)} \biggl(1+\mathcal{O}\biggl(\frac{1}{n}\biggr)\biggr) = 3^n \sqrt{\frac{1}{\pi n^{3}}} \biggl(1+\mathcal{O}\biggl(\frac{1}{n}\biggr)\biggr).$$

进一步推导得到：
\begin{align}
[z^{n]\frac{(1-3z)}{1/2}}{2z} &= \frac{3^{{n-1}}{2(n-1)}{3/2}\Gamma(1/2)} \biggl(1+\mathcal{O}\biggl(\frac{1}{n-1}\biggr)\biggr) \
&= 3^{n-1} \sqrt{\frac{1}{4\pi (n-1)^{3}}} \biggl(1+\mathcal{O}\biggl(\frac{1}{n}\biggr)\biggr).
\end{align}

备注：内容来源于stack exchange，提问作者3nondatur