关于Fⁿ的子集W对加法与数乘封闭性的验证咨询

最近我在自学线性代数，还没上过正式的相关课程，用的是Stephen H. Friedberg的《Linear Algebra》教材。看到第一章向量空间里1.3节子空间的习题10时，我突然琢磨起一个问题：下面这个Fⁿ的子集W，到底对加法和数乘运算封闭吗？

$$W={(a_1,a_2,...,a_n)\in F^n:a_1+a_2+...+a_n=1}$$

我自己琢磨了一下，觉得它不满足封闭性，理由如下：

先看加法封闭性的验证：
假设W里有两个元素，比如$W_1=(b_1,b_2,...,b_n)$，它满足$b_1+b_2+...+b_n=1$；还有$W_2=(c_1,c_2,...,c_n)$，满足$c_1+c_2+...+c_n=1$。
把它们加起来的话，得到$W_1+W_2=(b_1+c_1,b_2+c_2,...,b_n+c_n)$，这时候所有分量的和是：
$$b_1+c_1+b_2+c_2+...+b_n+c_n= (b_1+b_2+...+b_n)+(c_1+c_2+...+c_n)=1+1=2$$
显然2不等于1，所以这个和不在W里，说明W不封闭于加法。

再看数乘封闭性的验证：
取W里任意一个元素$(a_1,a_2,...,a_n)$，再取域F里任意一个常数c，做数乘得到$cW=(ca_1,ca_2,...,ca_n)$，它的分量和是：
$$ca_1+ca_2+...+ca_n=c(a_1+a_2+...+a_n)=c\times1=c$$
只有当c=1时这个和才等于1，可c是F里任意的常数啊，比如取c=0的话，分量和就是0，根本不在W里。所以W也不封闭于数乘。

其实后来我反应过来，判断是不是子空间最简单的方法就是看零向量在不在里面——很明显零向量的所有分量和是0，不等于1，所以W肯定不是Fⁿ的子空间。但当时就是想亲手验证一下加法和数乘这两个条件，不过一开始还不太确定怎么操作，现在理清楚后就记录下来啦。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者noob anomaly