关于子空间Y的基本群求解及覆叠映射存在性判断的拓扑学问题咨询

各位拓扑学的大佬们，我最近碰到一道习题卡壳了，想请教下思路：

设 $X={(x,y)\in \mathbb{R}^2,,|,, |y|\leq e^x}$ 是带有通常拓扑的 $\mathbb{R}^2$ 子空间，我需要求出 $Y=X\setminus{(0,0)}$ 的基本群，同时判断是否存在覆叠映射 $p:Y\to S^1$ 或者 $p:Y\to \mathbb{R}^2$。

我刚接触这类习题，现在完全没头绪，连具体的尝试过程都写不出来。目前我只记了 $\mathbb{R}^n$ 和 $S^n$ 的基本群，但不知道怎么把这些知识用到这个问题里。至于覆叠映射的部分，我刚学完理论知识，这是第一道实操习题，完全不知道该从哪里切入。有没有大佬能给我指个方向呀？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Sine of the Time