关于群表示$\langle a,b\mid ab=1\rangle$同构于$\mathbb{Z}$的证明合理性问询

你的思路整体是完全正确且清晰的！下面我帮你把这个论证的逻辑再梳理得更严谨一点，方便你确认细节：

1. 先明确群表示的定义：$\langle a,b\mid ab=1\rangle$本质是自由群$F(a,b)$模掉由关系式$ab=1$生成的正规子群$N$，也就是$F(a,b)/N$。你抓住的核心点——$ab=1$等价于$b=a^{-1}$——是整个论证的关键，这直接把生成元的数量从2个缩减到了1个。

2. 对于自由群$F(a,b)$中的任意元素$x$，它都是$a$和$b$的整数次幂的有限乘积（比如你举的例子$a^{2}b{-2}a^{3}b{2}a^{{-5}$）。利用关系式$b=a}{-1}$，我们可以把所有的$b$都替换成$a^{{-1}$，这样$x$就可以化简为$a$的单一整数次幂（比如你举的例子替换后会变成$a}0=1$）。这就说明商群$\langle a,b\mid ab=1\rangle$中的每一个元素都能被$a$的幂次表示，即$\langle a,b\mid ab=1\rangle \subseteq \langle a\rangle$。

3. 反过来，单生成元自由群$\langle a\rangle$中的每个元素（也就是$a$的任意整数次幂）显然都属于$\langle a,b\mid ab=1\rangle$，因为$a$本身就是这个群表示的生成元，所以$\langle a\rangle \subseteq \langle a,b\mid ab=1\rangle$。

4. 结合上面的双向包含，我们就能得到$\langle a,b\mid ab=1\rangle = \langle a\rangle$。而单生成元的自由群$\langle a\rangle$天然同构于$\mathbb{Z}$——对应的同构映射就是把$a^{k$映射到整数$k$，这个映射既能保持群运算（$a}k \cdot a^m = a^{k+m}$对应整数加法$k+m$），又是双射（每个整数都对应唯一的$a$的幂次，反之亦然），完全满足群同构的定义。

如果想要让论证更严谨，你可以明确提及正规子群的概念：因为$ab=1$在商群中成立，所以$bN = a^{{-1}N$，因此商群中的每个陪集都可以写成$a}kN$，对应$\mathbb{Z}$中的整数$k$，这样就能严格用群同构的定义验证这个映射的合理性。不过你的原始思路已经精准抓住了核心逻辑，完全是站得住脚的！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者rubikman23