关于Z=Y-X的累积分布函数（CDF）计算的错误排查求助

大家好 :) 我正在排查下面这道概率题里的错误，希望能得到大家的帮助：

设随机变量$X$服从$[a,b]$上的均匀分布，$Y$服从参数为$\lambda$的指数分布，且$X$与$Y$相互独立，求$Z=Y-X$的累积分布函数（CDF）。

我的解答过程如下：
$F_Z(z)=P(Z\leq z)=P(Y-X\leq z)=P(Y\leq X+z)$，我根据$z$的取值范围分情况讨论：

• 当$z>-a$时（对应图a）：
  我的计算过程是：
  $$F_Z(z)=\int\limits _{a}^{b}\int\limits _{0}^{x+z}\frac{\lambda e^{-\lambda s}}{b-a}dtds=\frac{1}{b-a}\left(b+\frac{1}{\lambda}e^{{-\lambda\left(z+b\right)}-a-\frac{1}{\lambda}e}{-\lambda\left(z+a\right)}\right)$$

• 当$-b<z\leq -a$时（对应图b）：
  我的计算过程是：
  $$F_Z(z)=\int\limits _{z}^{b}\int\limits _{0}^{x+z}\frac{\lambda e^{-\lambda s}}{b-a}dtds=\frac{1}{b-a}\left(b+\frac{1}{\lambda}e^{{-\lambda\left(z+b\right)}-z-\frac{1}{\lambda}e}{-2\lambda z}\right)$$

• 当$z\leq -b$时（对应图c）：
  $F_Z(z)=0$

据我同学反馈，$z>-a$的情况是正确的，但$-b<z\leq -a$这个区间的计算存在错误。

如果有人能帮我找出这个区间里的问题，我会非常感激的！😊
谢谢大家！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者mikealexx