关于无穷小与函数增量的连续性疑问及相关问题咨询

嘿，你观察得真的特别敏锐！这个点确实很容易因为教材表述的省略而让人困惑，咱们一步步来拆解清楚。

首先，你构造的分段函数：
$$
f(x) =
\begin{cases}
0 &, x = 0 \
1 &, x \neq 0
\end{cases}
$$
在$x=0$处是不连续的，这恰恰是问题的核心——微分的定义其实默认了一个关键前提：函数在讨论的点处必须是可微的（在一元微积分里，可微和可导是等价的，而可导必然蕴含连续）。

教材里的那个定义之所以没明确写“$f$连续”，是因为微分概念本身就是建立在函数可导（进而连续）的基础上的。对于不连续的点，微分的定义根本就不适用：你例子里的$x=0$处，函数连连续性都不满足，自然不存在对应的微分$dy$——因为$dy$的定义是$dy = f'(x_0)dx$，而$f$在$x=0$处的导数根本不存在（左右极限不相等，增量和自变量增量的比值极限是无穷大）。

你提到的$f(0+dx)-f(0)=1$，这是函数在$x=0$处的增量$\Delta f$，但这个增量没办法表示成“线性主部+高阶无穷小”的形式（也就是微分的本质），因为函数在该点的变化是跳跃式的，没有线性近似的可能。

所以你的疑惑其实源于教材没有把“函数在该点可微（或连续）”这个前提明确写出来，但这个前提是微分定义的默认基础。你的例子并没有否定定义，反而刚好证明了：只有满足连续性（进而可导）的函数，微分的概念才有意义。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Zazaeil