映射到ℙ¹的纤维与除子线性等价性问题

嘿，这个问题刚好戳中了曲线除子理论里容易混淆的点——先直接给你明确结论，再拆解你的困惑：

核心结论 #

你问的是纤维里的单个点作为除子是否线性等价，答案是：

• 只有当曲线X是ℙ¹（亏格0）时，纤维里的任意两个点才线性等价；
• 如果X的亏格≥1，纤维里的两个不同点不线性等价（除非是分支点处的重合点）。

反过来，整个纤维作为一个除子，不同纤维之间是线性等价的——这个是对的，但和你问的单个点的情况完全不同。

拆解你的困惑 #

首先，先理清楚几个关键概念：

1. 线性等价的定义：两个除子D₁、D₂线性等价（记为D₁~D₂），当且仅当存在非零有理函数g∈K(X)，使得D₁-D₂=div(g)（即D₁-D₂是g的零点除子减去极点除子）。
2. 你的映射f:X→ℙ¹对应的有理函数是f本身：当a∈ℙ¹是仿射点（比如a≠∞），纤维f⁻¹(a)就是f-a的零点集，对应的除子是div(f-a)的正部（零点部分）；当a=∞，纤维是f的极点集，对应div(f)的负部（极点部分）。

你尝试的思路里，想把P₁-P₂和div(f)联系起来，但这里有个误区：

• f(P₁)=f(P₂)=a，只能说明v_{P₁}(f-a)≥1、v_{P₂}(f-a)≥1（即f-a在P₁、P₂处都是零点），但div(f-a)=f⁻¹(a) - f⁻¹(∞)，这是整个纤维的线性等价关系（f⁻¹(a) ~ f⁻¹(∞)），但单个点P₁、P₂之间并没有直接的主除子联系。

举个直观例子 #

拿椭圆曲线（亏格1）来说，比如X:y²=x(x-1)(x-2)，f是投影到x坐标的映射f(x,y)=x。对于非分支点a=3，纤维f⁻¹(3)是两个不同的点P=(3,√6)和Q=(3,-√6)。
根据Riemann-Roch定理，对于亏格1的曲线，l(P-Q)=deg(P-Q)+1-g + l(Q-P)=0+1-1+l(Q-P)=l(Q-P)。如果P≠Q，l(P-Q)=0，这意味着不存在非零有理函数g使得div(g)=P-Q——否则这个g会给出X→ℙ¹的一度映射（即同构），但椭圆曲线和ℙ¹不同构（亏格不同），所以P和Q不等价。

补充：什么时候纤维里的点等价？ #

只有当X是ℙ¹时，任意两个点都是线性等价的——因为ℙ¹上的有理函数可以轻易构造出以任意两个点为零点和极点的函数（比如g(z)=(z-p₁)/(z-p₂)），这时候纤维里的点自然等价。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者ponchan